Найти общее решение дифференциального уравнения. y+6y'+9y=1

Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+9y=1$ воспользуемся методом суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: $y=y_{о}+y_{ч}$1. Нахождение общего решения однородного уравнения ( $y_{о}$) Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: $y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+9y=0$Составим характеристическое уравнение: $k^2+6k+9=0$Данное уравнение представляет собой полный квадрат: $(k+3{)}^2=0$Корни характеристического уравнения: $k_1=k_2=-3$Так как корень является кратным (кратность 2), общее решение однородного уравнения записывается в виде: $y_{о}=(C_1+C_{2}x)e^{-3x}$ 2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения ( $y_{ч}$) Правая часть уравнения представляет собой константу $f\left(x\right)=1$. Поскольку число $0$ не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищем в виде константы: $y_{ч}=A$Находим производные:

• $y_{ч}^{\prime }=0$ $y_{ч}^{\prime \prime }=0$

Подставим эти значения в исходное дифференциальное уравнение: $0+6\left(0\right)+9A=1$ $9A=1$ $A=\frac{1}{9}$ Следовательно, частное решение: $y_{ч}=\frac{1}{9}$ 3. Составление общего решения Складываем полученные результаты: $y=(C_1+C_{2}x)e^{-3x}+\frac{1}{9}$ Ответ: $y=(C_1+C_{2}x)e^{-3x}+\frac{1}{9}$ , где $C_1,C_2$ — произвольные постоянные. Я могу также помочь с решением этого уравнения при заданных начальных условиях (задача Коши), если они у вас есть.