6cos^2x+5cos(п/2-x)=7

Для решения уравнения $6{\cos }^{2}x+5\cos (\frac{\pi }{2}-x)=7$ воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и основным тождеством. 1. Упрощение уравнения Используем формулу приведения: $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$ Подставим это в исходное уравнение: $6{\cos }^{2}x+5\sin x=7$2. Приведение к одной функции Заменим ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$, используя основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $6(1-{\sin }^{2}x)+5\sin x=7$Раскроем скобки: $6-6{\sin }^{2}x+5\sin x=7$Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $-6{\sin }^{2}x+5\sin x-1=0$Умножим на $-1$ для удобства: $6{\sin }^{2}x-5\sin x+1=0$3. Решение квадратного уравнения Введем замену переменной: $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$. $6t^2-5t+1=0$Найдем дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$Корни уравнения: $t_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 6}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ Оба значения подходят под условие $\left|t\right|\le 1$. 4. Обратная замена и нахождение корней Случай 1: $\sin x=\frac{1}{2}$ $x=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\sin x=\frac{1}{3}$ $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ:

• $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Я могу выполнить отбор корней на заданном промежутке, если вы предоставите интервал.