Если а и b - целые числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются целыми числами?

Да, это утверждение верно. Если $a$ и $b$ принадлежат множеству целых чисел ( $\mathbb{Z}$), то их сумма ( $a+b$) и разность ( $a-b$) также всегда будут целыми числами. Это обусловлено фундаментальными свойствами арифметических операций над целыми числами. 1. Свойство замкнутости В математике существует понятие замкнутости множества относительно определенной операции. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ обладает свойством замкнутости относительно сложения и вычитания.

• Сложение: Сумма любых двух целых чисел всегда дает целое число. Не существует такой комбинации целых чисел, результатом сложения которых стала бы дробь или иррациональное число.
• Вычитание: Разность двух целых чисел также всегда является целым числом. Вычитание можно рассматривать как сложение с отрицательным числом: $a-b=a+(-b)$. Поскольку отрицательные числа также входят в состав целых чисел, результат остается внутри множества $\mathbb{Z}$.

2. Примеры для иллюстрации Рассмотрим различные комбинации целых чисел (положительных, отрицательных и нуля):

3. Формальное определение Если $a,b\in \mathbb{Z}$, то:

1. $(a+b)\in \mathbb{Z}$ $(a-b)\in \mathbb{Z}$

Важное дополнение: Стоит отметить, что свойство замкнутости для целых чисел не распространяется на операцию деления. Например, при делении целого числа $5$ на целое число $2$ получается $2.5$, которое уже является рациональным, а не целым числом. Однако для сложения и вычитания это правило абсолютно и не имеет исключений. Я могу составить для вас аналогичный разбор свойств для других типов чисел (например, натуральных или рациональных) или подготовить примеры решения задач на эту тему.