Найдите точку максимума и точку минимума функции y=f(x),если известно ,что f'(x)=x^2-5x+6

Точка максимума функции $x=2$, точка минимума функции $x=3$. Шаг 1: Нахождение критических точек Для поиска точек экстремума необходимо найти критические точки, в которых производная функции равна нулю. Решим квадратное уравнение: $x^2-5x+6=0$Используя теорему Виета или дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$ $x_1=\frac{5+1}{2}=3$ $x_2=\frac{5-1}{2}=2$ Критические точки: $x=2$ и $x=3$. Шаг 2: Анализ знаков производной Определим знаки производной $f^{\prime }\left(x\right)$ на интервалах, разделенных критическими точками:

1. На интервале $(-\infty ,2)$: выберем $x=0$, тогда $f^{\prime }\left(0\right)=0^2-5\left(0\right)+6=6>0$. Производная положительна, функция возрастает. На интервале $(2,3)$: выберем $x=2.5$, тогда $f^{\prime }\left(2.5\right)={2.5}^2-5\left(2.5\right)+6=6.25-12.5+6=-0.25<0$. Производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(3,+\infty )$: выберем $x=4$, тогда $f^{\prime }\left(4\right)=4^2-5\left(4\right)+6=16-20+6=2>0$. Производная положительна, функция возрастает.

Шаг 3: Определение точек максимума и минимума

• В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка минимума.

Ответ: Точка максимума $x=2$, точка минимума $x=3$. Нужно ли вам найти значения функции в этих точках, если задано начальное условие?