Найти экстремумы функции двух переменных z=f(x,y). 1)z=x^3-y^3.

Для нахождения экстремумов функции двух переменных $z=x^3-y^3$ воспользуемся стандартным алгоритмом, включающим нахождение стационарных точек и проверку достаточных условий с помощью определителя матрицы Гессе. 1. Нахождение частных производных первого порядка Сначала найдем частные производные функции по $x$ и по $y$:

• $z_x^{\prime }=\frac{}{x}(x^3-y^3)=3x^2$ $z_y^{\prime }=\frac{}{y}(x^3-y^3)=-3y^2$

2. Определение стационарных точек Стационарные точки находятся из системы уравнений, где частные производные равны нулю: $\{\begin{array}{c}3x^2=0\\ -3y^2=0\end{array}$Решением данной системы является единственная точка: $M_0(0,0)$. 3. Проверка достаточных условий экстремума Найдем частные производные второго порядка:

• $A=z_{xx}^{\prime \prime }=\frac{}{x}\left(3x^2\right)=6x$ $B=z_{xy}^{\prime \prime }=\frac{}{y}\left(3x^2\right)=0$ $C=z_{yy}^{\prime \prime }=\frac{}{y}\left(-3y^2\right)=-6y$

Вычислим значения этих производных в точке $M_0(0,0)$:

• $A(0,0)=6\cdot 0=0$ $B(0,0)=0$ $C(0,0)=-6\cdot 0=0$

Составим определитель матрицы Гессе $\Delta =AC-B^2$: $\Delta =0\cdot 0-0^2=0$4. Анализ результата Так как $\Delta =0$, достаточный признак не дает ответа на вопрос о наличии экстремума. В таких случаях требуется дополнительное исследование поведения функции в окрестности точки. Рассмотрим приращение функции в точке $(0,0)$:

• Если мы будем двигаться вдоль оси $OX$ ( $y=0$), функция принимает вид $z=x^3$. В окрестности нуля она принимает как положительные значения (при $x>0$), так и отрицательные (при $x<0$). Если мы будем двигаться вдоль оси $OY$ ( $x=0$), функция принимает вид $z=-y^3$. Она также принимает значения разных знаков в окрестности нуля.

Поскольку в любой сколь угодно малой окрестности точки $(0,0)$ функция принимает значения как больше $z(0,0)=0$, так и меньше $z(0,0)=0$, данная точка является седловой точкой, а не точкой экстремума. Ответ: Функция $z=x^3-y^3$ не имеет экстремумов. Точка $(0,0)$ является седловой точкой. Хотите, чтобы я проверил аналогичным образом другую функцию или помог с построением графика этой поверхности?