Вычислить значения данных функций и решить уравнения. дана функция f(x) = tgx. найти f (п/3) , f (п/6), f ( x + п/2) . ре- шить уравнение f ^2 ( x ) + f ( x ) ⋅ f ( x −п/2)= 2 .

Значения функции: $f(\pi /3)=\sqrt{3}$ , $f(\pi /6)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , $f(x+\pi /2)=-\cot x$; решение уравнения: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . ️ Шаг 1: Вычисление значений функции в точках Для нахождения значений подставим аргументы в функцию $f\left(x\right)=\tan x$:

1. $f(\pi /3)=\tan (\pi /3)=\sqrt{3}$ $f(\pi /6)=\tan (\pi /6)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

️ Шаг 2: Нахождение выражения для смещенного аргумента Используем формулу приведения для тангенса $\tan (x+\pi /2)=-\cot x$: $f(x+\pi /2)=\tan (x+\pi /2)=-\cot x$️ Шаг 3: Решение уравнения Подставим определение функции в уравнение $f^2\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot f(x-\pi /2)=2$:

1. Выразим $f(x-\pi /2)=\tan (x-\pi /2)=-\cot x$. Подставим в уравнение: ${\tan }^{2}x+\tan x\cdot (-\cot x)=2$. Учитывая основное тригонометрическое тождество $\tan x\cdot \cot x=1$ при $x\ne \frac{\pi n}{2}$ , получаем:
   ${\tan }^{2}x-1=2$ ${\tan }^{2}x=3$ $\tan x=\pm \sqrt{3}$ Находим корни:
   Для $\tan x=\sqrt{3}$ : $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$
   Для $\tan x=-\sqrt{3}$ : $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$
   Объединяя решения: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Данные значения входят в область определения уравнения.

Ответ: $f(\pi /3)=\sqrt{\mathbf{3}}$ ; $f(\pi /6)=\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}$ ; $f(x+\pi /2)=\mathbf{-}\cot \mathbf{x}$; корни уравнения: $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{\pi }\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{\in }\mathbb{Z}$ . Нужна ли вам помощь с построением графика данной функции или нахождением её области определения?