Вычислите с помощью формул приведения: 1) sin 5π/4 2) cos (-7π/3) 3) tg 5π/3 4) sin 40π/3 5) ctg 1π/6

Для решения этих примеров мы воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести значения тригонометрических функций произвольного аргумента к значениям углов первой четверти (от $0$ до $\pi /2$). 1) $\sin \frac{5\pi }{4}$ Представим аргумент в виде суммы $\pi +\alpha$: $\sin \frac{5\pi }{4}=\sin (\pi +\frac{\pi }{4})$

• Угол $(\pi +\alpha )$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как используется целое число $\pi$, функция не меняется на кофункцию.
  $\sin (\pi +\frac{\pi }{4})=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\cos (-\frac{7\pi }{3})$ Воспользуемся четностью косинуса $\cos (-x)=\cos x$ и выделим полные обороты ( $2\pi$): $\cos (-\frac{7\pi }{3})=\cos \frac{7\pi }{3}=\cos (2\pi +\frac{\pi }{3})$

• Угол $(2\pi +\alpha )$ находится в I четверти, где косинус положителен. Функция сохраняется.
  $\cos (2\pi +\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

3) $\text{tg}\frac{5\pi }{3}$ Представим аргумент как разность $2\pi -\alpha$: $\text{tg}\frac{5\pi }{3}=\text{tg}(2\pi -\frac{\pi }{3})$

• Угол $(2\pi -\alpha )$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Функция сохраняется.
  $\text{tg}(2\pi -\frac{\pi }{3})=-\text{tg}\frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$

4) $\sin \frac{40\pi }{3}$ Сначала выделим целое количество полных оборотов ( $2\pi \cdot k$): $\frac{40\pi }{3}=13\frac{1}{3}\pi =12\pi +\frac{4\pi }{3}$ Так как $12\pi$ — это 6 полных оборотов, их можно отбросить: $\sin \frac{40\pi }{3}=\sin \frac{4\pi }{3}$ Теперь применим формулу приведения: $\sin \frac{4\pi }{3}=\sin (\pi +\frac{\pi }{3})$

• III четверть, синус отрицателен.
  $\sin (\pi +\frac{\pi }{3})=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

5) $\text{ctg}\frac{11\pi }{6}$ Представим аргумент как разность $2\pi -\alpha$: $\text{ctg}\frac{11\pi }{6}=\text{ctg}(2\pi -\frac{\pi }{6})$

• Угол $(2\pi -\alpha )$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Функция сохраняется.
  $\text{ctg}(2\pi -\frac{\pi }{6})=-\text{ctg}\frac{\pi }{6}=-\sqrt{3}$

Итоговые ответы:

1. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $-\sqrt{3}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\sqrt{3}$

Я могу составить для вас таблицу основных формул приведения или решить аналогичные примеры с градусной мерой углов. Желаете продолжить?