25^x - 20^x = 2*16^x

Для решения уравнения ${25}^x-{20}^x=2\cdot {16}^x$ воспользуемся методом деления обеих частей уравнения на одну из показательных функций. 1. Преобразование уравнения Заметим, что все основания являются степенями чисел 4 и 5:

• ${25}^x=(5^2{)}^x=(5^x{)}^2$ ${20}^x=(5\cdot 4{)}^x=5^x\cdot 4^x$ ${16}^x=(4^2{)}^x=(4^x{)}^2$

Перепишем уравнение: $(5^x{)}^2-5^x\cdot 4^x=2\cdot (4^x{)}^2$2. Деление на ${16}^x$ Так как ${16}^x>0$ при любых значениях $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $(4^x{)}^2$: $\frac{(5^x{)}^2}{(4^x{)}^2}-\frac{5^x\cdot 4^x}{(4^x{)}^2}=\frac{2\cdot (4^x{)}^2}{(4^x{)}^2}$ После сокращения получаем: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^{2x}-{\left(\frac{5}{4}\right)}^x=2$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{5}{4}\right)}^x$ . Учитывая свойства показательной функции, $t>0$. Уравнение принимает вид квадратного: $t^2-t-2=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=1$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-2$

Корни уравнения:

1. $t_1=2$ $t_2=-1$

5. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

• $t=-1$ — не подходит, так как значение показательной функции всегда положительно. $t=2$ — подходит.

Решим уравнение относительно $x$: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^x=2$ Для нахождения $x$ воспользуемся логарифмированием: $x={\log }_{5/4}2$Или, используя натуральный логарифм: $x=\frac{\ln 2}{\ln \left(1.25\right)}$ Ответ: $x={\log }_{1.25}2$ Я могу помочь с решением других трансцендентных уравнений или подробнее разобрать свойства логарифмов, если это необходимо.