F (x)=5x в 4 степени

Для функции $f\left(x\right)=5x^4$ привожу подробный математический анализ, включающий производные, свойства и характеристики графика. 1. Основные характеристики

• Область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$, так как это степенная функция с натуральным показателем. Область значений: $E\left(f\right)=[0;+\infty )$, так как любая величина в четвертой степени неотрицательна, а коэффициент $5>0$. Четность: Функция четная, так как $f(-x)=5(-x{)}^4=5x^4=f(x)$. График симметричен относительно оси ординат ( $Oy$). Нули функции: Функция пересекает оси в единственной точке $(0,0)$.

2. Производная и экстремумы Найдем первую производную для определения интервалов монотонности: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(5x^4\right)=5\cdot 4x^3=20x^3$

• Критическая точка: $20x^3=0⟹x=0$. Интервалы монотонности:
  • При $x<0$ производная $f^{\prime }\left(x\right)<0$ — функция убывает. При $x>0$ производная $f^{\prime }\left(x\right)>0$ — функция возрастает.
  Точка экстремума: Точка $(0,0)$ является минимумом функции.

3. Вторая производная и выпуклость Найдем вторую производную для определения характера изгиба графика: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(20x^3\right)=20\cdot 3x^2=60x^2$

• Поскольку $60x^2\ge 0$ для всех $x$, график функции везде выпукл вниз (вогнут). Точек перегиба нет (в точке $x=0$ вторая производная равна нулю, но знак не меняется).

4. Таблица значений для построения Для наглядности приведено несколько характерных точек:

5. Первообразная (Интеграл) Общий вид первообразной для данной функции: $F\left(x\right)=\int 5x^{4}dx=\frac{5x^5}{5}+C=x^5+C$ Могу рассчитать значение функции в конкретной точке или вычислить определенный интеграл на заданном отрезке.