F(x)=log5(-3x-1) найти производную

Для нахождения производной функции $F\left(x\right)={\log }_5(-3x-1)$ воспользуемся правилом дифференцирования логарифма по произвольному основанию и правилом производной сложной функции. Формулы для расчета

1. Производная логарифма: $({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{1}{u\ln a}\cdot u^{\prime }$ Производная линейной функции: $(-3x-1{)}^{\prime }=-3$

Пошаговое решение

1. Определяем внешнюю и внутреннюю функции:
   Внешняя функция — это логарифм по основанию $5$.
   Внутренняя функция — это $u=-3x-1$. Применяем правило сложной функции:
   Производная будет равна произведению производной логарифма на производную его аргумента:
   $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{(-3x-1)\ln 5}\cdot (-3x-1{)}^{\prime }$ Вычисляем производную внутренней функции:
   Производная выражения $(-3x-1)$ по переменной $x$ равна $-3$. Собираем итоговое выражение:
   $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{(-3x-1)\ln 5}\cdot \left(-3\right)$ Упрощаем дробь:
   Вынесем минус из знаменателя, чтобы упростить выражение:
   $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{-3}{-(3x+1)\ln 5}=\frac{3}{(3x+1)\ln 5}$

Ответ: $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{(3x+1)\ln 5}$ Область определения производной: Производная существует при $-3x-1>0$, то есть при $x<-\frac{1}{3}$ . Я могу также вычислить значение этой производной в конкретной точке или помочь с нахождением второй производной. Хотите продолжить?