Log1/4(7-5x)>log1/4(4+2x)

Для решения неравенства ${\log }_{1/4}(7-5x)>{\log }_{1/4}(4+2x)$ необходимо выполнить два основных шага: определить область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство с учетом свойств логарифмической функции. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Составим и решим систему неравенств:

1. $7-5x>0⟹5x<7⟹x<1.4$ $4+2x>0⟹2x>-4⟹x>-2$

ОДЗ: $x\in (-2;1.4)$ 2. Решение неравенства При сравнении логарифмов с одинаковым основанием важно смотреть на величину этого основания:

• Если основание $a>1$, знак неравенства сохраняется. Если основание $0<a<1$, знак неравенства меняется на противоположный.

Так как в данном случае основание $a=1/4$ (что меньше 1), при переходе к подлогарифмическим выражениям меняем знак $>$ на $<$: $7-5x<4+2x$Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую: $-5x-2x<4-7$ $-7x<-3$Разделим обе части на $-7$. При делении на отрицательное число знак неравенства снова меняется: $x>\frac{3}{7}$ 3. Пересечение решения с ОДЗ Теперь необходимо найти общие значения для полученного решения $x>3/7$ и ранее найденного ОДЗ $x\in (-2;1.4)$.

• Условие 1: $x>\frac{3}{7}$ (примерно $0.43$) Условие 2: $x<1.4$ Условие 3: $x>-2$

Общим интервалом для всех условий является: $\frac{3}{7}<x<1.4$ Ответ: $(\frac{3}{7};1.4)$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с переменным основанием. Хотите попробовать решить похожий пример?