На доске написано число 21. каждую минуту число стирают с доски и на его место записывают его сумму цифр, увеличенную на 6. какое число окажется на доске через 100 минут?

Через 100 минут на доске окажется число 9. Шаг 1: Вычисление первых значений последовательности Для решения задачи необходимо последовательно применить правило: новое число равно сумме цифр предыдущего плюс 6. Обозначим исходное число как $n_0=21$.

1. Через 1 минуту ( $n_1$): Сумма цифр числа $21$ равна $2+1=3$. Тогда $n_1=3+6=9$. Через 2 минуты ( $n_2$): Сумма цифр числа $9$ равна $9$. Тогда $n_2=9+6=15$. Через 3 минуты ( $n_3$): Сумма цифр числа $15$ равна $1+5=6$. Тогда $n_3=6+6=12$. Через 4 минуты ( $n_4$): Сумма цифр числа $12$ равна $1+2=3$. Тогда $n_4=3+6=9$.

Шаг 2: Определение цикла Заметим, что начиная с первой минуты, значения чисел на доске начинают повторяться. Последовательность выглядит следующим образом: $9,15,12,9,15,12,\dots$Это периодическая последовательность с периодом 3, состоящая из чисел $\{9,15,12\}$. Соответствие минут и чисел:

• Минуты $k$, где $k\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$, дают число 9. Минуты $k$, где $k\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)$, дают число 15. Минуты $k$, где $k\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$ ( $k>0$), дают число 12.

Шаг 3: Нахождение значения для 100 минут Нам нужно найти число через $k=100$ минут. Разделим 100 на длину периода (3), чтобы найти остаток: $100=33\times 3+1$Остаток равен 1. Это означает, что число через 100 минут будет таким же, как и через 1 минуту ( $n_1$). Следовательно: $n_{100}=n_1=9$Ответ: Через 100 минут на доске будет число 9. Желаете ли вы разобрать аналогичную задачу с другим начальным числом или другим правилом изменения?