Найти частные производные первого и второго порядков указанных функций: z=ye×+1

Question

Найти частные производные первого и второго порядков указанных функций: z=ye×+1

TheAndroid 03.03.2026 21:32

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для функции $z = y e^{x} + 1 z equals y e to the x-th power plus 1$ найдем частные производные первого и второго порядков. 1. Частные производные первого порядка Чтобы найти частную производную по одной переменной, мы считаем другую переменную константой.

По переменной $x x$ :
При дифференцировании по $x x$ , переменная $y y$ рассматривается как константа.
$\frac{z}{x} = z_{x}^{'} = (y e^{x} + 1)_{x}^{'} = y \cdot e^{x} + 0 = y e^{x} partial z over partial x end-fraction equals z sub x prime equals open paren y e to the x-th power plus 1 close paren sub x prime equals y center dot e to the x-th power plus 0 equals y e to the x-th power$ По переменной $y y$ :
При дифференцировании по $y y$ , выражение $e^{x} e to the x-th power$ рассматривается как константа.
$\frac{z}{y} = z_{y}^{'} = (y e^{x} + 1)_{y}^{'} = 1 \cdot e^{x} + 0 = e^{x} partial z over partial y end-fraction equals z sub y prime equals open paren y e to the x-th power plus 1 close paren sub y prime equals 1 center dot e to the x-th power plus 0 equals e to the x-th power$

2. Частные производные второго порядка Частные производные второго порядка — это производные от производных первого порядка.

Чистая производная по $x x$ дважды:
$\frac{^{2} z}{x^{2}} = z_{x x}^{''} = (y e^{x})_{x}^{'} = y e^{x} partial squared z over partial x squared end-fraction equals z sub x x end-sub double prime equals open paren y e to the x-th power close paren sub x prime equals y e to the x-th power$ Чистая производная по $y y$ дважды:
$\frac{^{2} z}{y^{2}} = z_{y y}^{''} = (e^{x})_{y}^{'} = 0 partial squared z over partial y squared end-fraction equals z sub y y end-sub double prime equals open paren e to the x-th power close paren sub y prime equals 0$ Смешанная производная ( $x x$ затем $y y$ ):
Берем производную по $x x$ и дифференцируем её по $y y$ .
$\frac{^{2} z}{x y} = z_{x y}^{''} = (y e^{x})_{y}^{'} = e^{x} the fraction with numerator partial squared z and denominator partial x partial y end-fraction equals z sub x y end-sub double prime equals open paren y e to the x-th power close paren sub y prime equals e to the x-th power$ Смешанная производная ( $y y$ затем $x x$ ):
Берем производную по $y y$ и дифференцируем её по $x x$ .
$\frac{^{2} z}{y x} = z_{y x}^{''} = (e^{x})_{x}^{'} = e^{x} the fraction with numerator partial squared z and denominator partial y partial x end-fraction equals z sub y x end-sub double prime equals open paren e to the x-th power close paren sub x prime equals e to the x-th power$

Примечание: В соответствии с теоремой Шварца, смешанные производные $z_{x y}^{''} z sub x y end-sub double prime$ и $z_{y x}^{''} z sub y x end-sub double prime$ равны, так как функция и её производные непрерывны.

Итоговые значения:

$z_{x}^{'} = y e^{x} z sub x prime equals y e to the x-th power$ $z_{y}^{'} = e^{x} z sub y prime equals e to the x-th power$ $z_{x x}^{''} = y e^{x} z sub x x end-sub double prime equals y e to the x-th power$ $z_{y y}^{''} = 0 z sub y y end-sub double prime equals 0$ $z_{x y}^{''} = z_{y x}^{''} = e^{x} z sub x y end-sub double prime equals z sub y x end-sub double prime equals e to the x-th power$

Хотите, чтобы я составил полный дифференциал этой функции на основе найденных производных?

Найти частные производные первого и второго порядков указанных функций: z=ye×+1

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов