При каком наименьшем натуральном n число n! делится на 1000 (n!(читается как эн факториал) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n)?

Для того чтобы число $n!$ делилось на $1000$, оно должно содержать в своем разложении на простые множители все компоненты числа $1000$. Разложение числа 1000 на множители Сначала разложим $1000$ на простые множители: $1000={10}^3=(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3$Это означает, что произведение чисел от $1$ до $n$ должно содержать как минимум три двойки и три пятёрки. Поиск подходящего n Поскольку в натуральном ряду чисел двойки встречаются гораздо чаще, чем пятёрки, определяющим фактором будет наличие трех множителей «5». Разберем появление пятерок в факториале:

1. Первая пятёрка появляется в числе 5.
2. Вторая пятёрка появляется в числе 10 ( $2\cdot 5$). Третья пятёрка появляется в числе 15 ( $3\cdot 5$).

Таким образом, при $n=15$ в произведении $15!$ уже гарантированно есть $5\cdot 10\cdot 15$, что дает нам искомую степень $5^3$. Проверка наличия двоек Теперь проверим, наберется ли к этому моменту три двойки (множитель $2^3$):

• Число 2 дает одну двойку.
• Число 4 дает две двойки ( $2^2$). Число 6 дает еще одну двойку.

Уже на этапе $6!$ мы имеем более чем достаточно двоек ( $2^4$). Следовательно, при $n=15$ условие наличия $2^3$ также будет выполнено с избытком. Вывод

• При $n=14$ в разложении только две пятёрки (от чисел 5 и 10), чего недостаточно для деления на 1000. При n = 15 появляется третья пятёрка, и произведение становится кратным 1000.

Ответ: 15. Я могу помочь вам рассчитать количество нулей в конце любого другого факториала или решить похожую задачу на делимость. Хотите рассмотреть более сложное число, например, $n!$, делящееся на ${10}^6$?