Решите неравенство х^2-8х+7<0

Для решения квадратичного неравенства $x^2-8x+7<0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Нахождение корней квадратного трехчлена Сначала приравняем выражение к нулю, чтобы найти критические точки: $x^2-8x+7=0$Для решения воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=8$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=7$

Методом подбора находим корни: $x_1=1$ $x_2=7$ 2. Разложение на множители Теперь мы можем представить исходное неравенство в виде произведения: $(x-1)(x-7)<0$3. Анализ знаков на числовой прямой Отметим найденные точки 1 и 7 на числовой оси. Точки будут «выколотыми» (пустыми), так как знак неравенства строгий ( $<$). Эти точки разделяют прямую на три интервала:

1. $(-\infty ;1)$: Возьмем $x=0$. Подставляем: $(0-1)(0-7)=\left(-1\right)\cdot \left(-7\right)=7$. Значение положительное (+). $(1;7)$: Возьмем $x=2$. Подставляем: $(2-1)(2-7)=1\cdot \left(-5\right)=-5$. Значение отрицательное (-). $(7;+\infty )$: Возьмем $x=8$. Подставляем: $(8-1)(8-7)=7\cdot 1=7$. Значение положительное (+).

4. Выбор интервала и ответ Так как по условию неравенства выражение должно быть меньше нуля ( $<0$), нам подходит средний интервал, где стоит знак «минус». Ответ: $x\in (1;7)$ Я могу также решить это неравенство графическим способом, построив схему параболы, если это необходимо.