Sin105°= cos105°= tg105°= ctg105°=

Для вычисления точных значений тригонометрических функций угла ${105}^{\circ }$ удобно представить его как сумму стандартных углов: ${105}^{\circ }={60}^{\circ }+{45}^{\circ }$. 1. $\sin {105}^{\circ }$ Используем формулу синуса суммы: $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$.

• $\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }$ Подставляем табличные значения: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$ Результат: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0.9659$ .

2. $\cos {105}^{\circ }$ Используем формулу косинуса суммы: $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$.

• $\cos ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }$ Подставляем значения: $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$ Результат: $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\approx -0.2588$ .

3. $\tan {105}^{\circ }$ Используем формулу тангенса суммы: $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ .

• $\tan ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\frac{\tan {60}^{\circ }+\tan {45}^{\circ }}{1-\tan {60}^{\circ }\tan {45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1}$ После рационализации знаменателя (умножения на $1+\sqrt{3}$ ): $\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{1-3}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{-2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}$ Результат: $-(2+\sqrt{3})\approx -3.7321$ .

4. $\cot {105}^{\circ }$ Используем соотношение $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ .

• $\cot {105}^{\circ }=\frac{1}{-(2+\sqrt{3})}$ После рационализации знаменателя (умножения на $2-\sqrt{3}$ ): $\frac{-(2-\sqrt{3})}{4-3}=-(2-\sqrt{3})$ Результат: $\sqrt{3}-2\approx -0.2679$ .

Нужно ли вам развернутое решение для других нестандартных углов через формулы половинного или двойного угла?