Выполнить деление многочленов: (х4+х3+х2-х-2):(х3+х-2) 2. найти действительные корни уравнения: 2х4+3х3-10х2-5х-6=0 3. решить уравнение: 4х2/(х-2)-4х/(х+3)=(9х+2)/(х2+х-6) 4. решить систему уравнений: 2х2-у=2, х-у=1. 5. решить задачу: площадь прямоугольного треугольника равна 15см2, а сумма его катетов равна 11см. найти катеты.

Результатом деления многочленов является х+1, действительными корнями уравнения являются -3 и 2, корнями рационального уравнения являются -2, -0,5 и 0,5, решениями системы уравнений являются пары (1; 0) и (-0,5; -1,5), а катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см. ️ Шаг 1: Деление многочленов Для деления $(x^4+x^3+x^2-x-2)$ на $(x^3+x-2)$ используем метод «уголком»:

1. Разделим старший член $x^4$ на $x^3$, получим $x$. Умножим $x$ на делитель: $x(x^3+x-2)=x^4+x^2-2x$. Вычтем из делимого: $(x^4+x^3+x^2-x-2)-(x^4+x^2-2x)=x^3+x-2$. Разделим $x^3$ на $x^3$, получим $1$. Умножим $1$ на делитель: $1(x^3+x-2)=x^3+x-2$. Остаток равен $0$. Частное: $x+1$.

️ Шаг 2: Нахождение корней уравнения Рассмотрим уравнение $2x^4+3x^3-10x^2-5x-6=0$. Проверим целые делители свободного члена $-6$.

1. Подставим $x=2$: $2\left(16\right)+3\left(8\right)-10\left(4\right)-5\left(2\right)-6=32+24-40-10-6=0$. $x=2$ — корень. Разделим многочлен на $(x-2)$, получим $2x^3+7x^2+4x+3=0$. Подставим $x=-3$: $2\left(-27\right)+7\left(9\right)+4\left(-3\right)+3=-54+63-12+3=0$. $x=-3$ — корень. Разделим на $(x+3)$, получим $2x^2+x+1=0$. Дискриминант $D=1^2-4\cdot 2\cdot 1=-7$. Действительных корней нет.

️ Шаг 3: Решение рационального уравнения $\frac{4x^2}{x-2}-\frac{4x}{x+3}=\frac{9x+2}{x^2+x-6}$

1. Общий знаменатель: $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$. ОДЗ: $x\ne 2,x\ne -3$. Умножим на знаменатель: $4x^2(x+3)-4x(x-2)=9x+2$. Раскроем скобки: $4x^3+12x^2-4x^2+8x=9x+2⟹4x^3+8x^2-x-2=0$. Группировка: $4x^2(x+2)-1(x+2)=0⟹(4x^2-1)(x+2)=0$. Корни: $x=-2$, $x=0,5$, $x=-0,5$. Все входят в ОДЗ.

️ Шаг 4: Решение системы уравнений $\{\begin{array}{c}2x^2-y=2\\ x-y=1\end{array}$

1. Из второго уравнения: $y=x-1$. Подставим в первое: $2x^2-(x-1)=2⟹2x^2-x-1=0$. Найдем корни через дискриминант $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=9$:
   $x_1=\frac{1+3}{4}=1⟹y_1=1-1=0$ .
   $x_2=\frac{1-3}{4}=-0,5⟹y_2=-0,5-1=-1,5$ .

️ Шаг 5: Решение задачи на площадь Пусть катеты равны $a$ и $b$.

1. Система: $a+b=11$ и $\frac{1}{2}ab=15⟹ab=30$ . Составим квадратное уравнение: $t^2-11t+30=0$. По теореме Виета корни: $t_1=5,t_2=6$. Катеты равны $5$ см и $6$ см.

Ответ:

1. x+1
2. x_1 = -3, x_2 = 2
3. x \in {-2; -0,5; 0,5}
4. (1; 0), (-0,5; -1,5)
5. 5 см и 6 см

Нужно ли графическое решение для системы уравнений или проверка корней рационального уравнения?