(x^2-4)(x+7)<_0,(x^2+4)(x+4)(x-8)<_0

Для решения данных неравенств воспользуемся методом интервалов. Суть метода заключается в нахождении корней выражения, делении числовой прямой на промежутки и определении знака функции в каждом из них. Неравенство №1: $(x^2-4)(x+7)\le 0$ 1. Найдем корни уравнения $(x^2-4)(x+7)=0$

• Разложим разность квадратов: $(x-2)(x+2)(x+7)=0$. Корни: $x_1=2$, $x_2=-2$, $x_3=-7$.

2. Расставим точки на числовой прямой Так как неравенство нестрогое ( $\le$), все точки будут закрашенными (включаются в ответ). 3. Определим знаки на интервалах

• $(2;+\infty )$: возьмем $x=3(9-4)(3+7)=5\cdot 10=50>0$ (Плюс) $(-2;2)$: возьмем $x=0(0-4)(0+7)=-28<0$ (Минус) $(-7;-2)$: возьмем $x=-3(9-4)(-3+7)=5\cdot 4=20>0$ (Плюс) $(-\infty ;-7)$: возьмем $x=-8(64-4)(-8+7)=60\cdot \left(-1\right)=-60<0$ (Минус)

4. Выберем интервалы, где выражение $\le 0$ Нам подходят промежутки со знаком «минус». Ответ: $x\in (-\infty ;-7]\cup [-2;2]$ Неравенство №2: $(x^2+4)(x+4)(x-8)\le 0$ 1. Проанализируем множители

• Выражение $(x^2+4)$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$ (так как квадрат числа не может быть отрицательным, а $0+4=4$). Поскольку этот множитель всегда положителен, он не влияет на смену знака неравенства. Мы можем разделить на него обе части, не меняя знак неравенства.

2. Упростим неравенство Неравенство сводится к: $(x+4)(x-8)\le 0$. 3. Найдем корни

• $x+4=0x_1=-4$ $x-8=0x_2=8$

4. Определим знаки на интервалах

• $(8;+\infty )$: возьмем $x=10(10+4)(10-8)=14\cdot 2=28>0$ (Плюс) $(-4;8)$: возьмем $x=0(0+4)(0-8)=-32<0$ (Минус) $(-\infty ;-4)$: возьмем $x=-5(-5+4)(-5-8)=-1\cdot \left(-13\right)=13>0$ (Плюс)

5. Выберем интервалы, где выражение $\le 0$ Нам подходит промежуток со знаком «минус» (включая границы). Ответ: $x\in [-4;8]$ Я могу составить для вас аналогичные примеры с модулями или дробно-рациональными выражениями для закрепления темы. Хотите, чтобы я подготовил пару таких задач с решениями?