Что такое теорема виета

Теорема Виета — это фундаментальное положение алгебры, устанавливающее связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Наиболее часто она применяется для решения квадратных уравнений, позволяя находить корни или проверять их правильность без использования дискриминанта. Теорема Виета для квадратного уравнения Для приведенного квадратного уравнения (где коэффициент при $x^2$ равен 1) вида: $x^2+px+q=0$Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то справедливы следующие равенства:

1. Сумма корней равна коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком:
   $x_1+x_2=-p$ Произведение корней равно свободному члену $q$:
   $x_1\cdot x_2=q$

Общий случай (неприведенное уравнение) Если уравнение имеет вид $a{x}^2+bx+c=0$ (где $a\ne 0$), его можно привести к стандартному виду, разделив все члены на $a$. В этом случае формулы принимают вид:

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Практическое применение Теорема Виета полезна в нескольких сценариях:

• Подбор корней: Если корни являются целыми числами, их легко найти методом подбора, опираясь на делители числа $q$. Например, в уравнении $x^2-5x+6=0$:
  • $x_1+x_2=5$ $x_1\cdot x_2=6$ Методом подбора находим корни: $2$ и $3$.
  Проверка: После нахождения корней через дискриминант их можно быстро суммировать и перемножить, чтобы убедиться в отсутствии ошибки. Составление уравнений: Зная корни, можно составить соответствующее им квадратное уравнение.

Теорема Виета для уравнений высших степеней Теорема применима к многочленам любой степени. Для уравнения $n$-й степени: $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0$

• Сумма всех корней: $\sum x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ Произведение всех корней: $\prod x_i=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$ Суммы произведений корней попарно, по три и так далее также выражаются через соответствующие коэффициенты.

Важное условие Теорема Виета работает только в том случае, если уравнение имеет корни (то есть дискриминант $D\ge 0$). В случае отрицательного дискриминанта теорема остается верной для комплексных корней. Я могу составить для вас таблицу-тренажер с уравнениями разной сложности, чтобы вы могли попрактиковаться в применении этой теоремы.