Что такое квадратный корень и как его находить?

Квадратный корень — это одно из базовых понятий в математике, обратное операции возведения числа в квадрат. Определение Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$, которое при возведении в вторую степень (умножении само на себя) дает число $a$. Математически это записывается так: если $x^2=a$, то $x=\sqrt{a}$ .

• Символ $\sqrt{}$ называется радикалом. Число под знаком корня ( $a$) называется подкоренным выражением.

Важное правило: В школьном курсе математики (среди действительных чисел) нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа, так как любое число (положительное или отрицательное), возведенное в квадрат, дает положительный результат.

Основные свойства

1. $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ (корень из произведения равен произведению корней).
2. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя).
3. $(\sqrt{a}{)}^2=a$ (возведение корня в квадрат уничтожает знак корня).

Как находить квадратный корень Способ нахождения зависит от сложности числа. 1. Использование таблицы квадратов Для небольших целых чисел проще всего запомнить таблицу квадратов:

• $\sqrt{1}=1$ (так как $1\cdot 1=1$) $\sqrt{4}=2$ (так как $2\cdot 2=4$) $\sqrt{9}=3$ (так как $3\cdot 3=9$) $\sqrt{16}=4$ $\sqrt{25}=5$ $\sqrt{100}=10$

2. Разложение на множители Если число большое, его можно разложить на простые множители. Пример: Найти $\sqrt{576}$ .

1. Разложим 576: $576=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$. Сгруппируем пары одинаковых множителей: $(2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\cdot (3\cdot 3)$. Из каждой пары вынесем по одному числу из-под знака корня: $2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24$.
   Ответ: $\sqrt{576}=24$ .

3. Метод подбора (итерации) Если число не является «полным квадратом» (например, $\sqrt{10}$ ), его значение будет иррациональным (бесконечной дробью).

1. Найдем ближайшие целые квадраты: $3^2=9$ и $4^2=16$. Значит, $\sqrt{10}$ находится между 3 и 4. Пробуем 3.1: ${3.1}^2=9.61$ (близко). Пробуем 3.2: ${3.2}^2=10.24$ (перебор). Результат примерно равен 3.16.

4. Алгоритм «столбиком» Существует строгий арифметический метод, напоминающий деление столбиком, который позволяет вычислять корень с любой точностью, разбивая число на пары цифр от запятой. Пример практического применения Если площадь квадратного участка земли составляет 400 квадратных метров, то чтобы найти длину его стороны, нужно извлечь квадратный корень: $\sqrt{400}=20\text{метров.}$ Я могу составить для вас таблицу квадратов до 20 или разобрать более сложный пример вычисления корня столбиком.