Даны вершины треугольника авс. найти: 1) длины сторон, 2) уравнения сторон, 3) угол при вершине в, 4) площадь треугольника авс, 5) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника авс, 6) записать систему неравенств, определяющих область треугольника. а(-2:2) в(3:4) с(1:-2)

Question

Даны вершины треугольника авс. найти: 1) длины сторон, 2) уравнения сторон, 3) угол при вершине в, 4) площадь треугольника авс, 5) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника авс, 6) записать систему неравенств, определяющих область треугольника. а(-2:2) в(3:4) с(1:-2)

ZincAsh 23.04.2026 12:48

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Длины сторон треугольника составляют $A B = \sqrt{29} cap A cap B equals the square root of 29 end-root$ , $B C = 2 \sqrt{10} cap B cap C equals 2 the square root of 10 end-root$ , $A C = 5 cap A cap C equals 5$ ; уравнения сторон: $A B ∶ 2 x - 5 y + 14 = 0 cap A cap B colon 2 x minus 5 y plus 14 equals 0$ , $B C ∶ 3 x - y - 5 = 0 cap B cap C colon 3 x minus y minus 5 equals 0$ , $A C ∶ 4 x + 3 y + 2 = 0 cap A cap C colon 4 x plus 3 y plus 2 equals 0$ ; угол при вершине $B cap B$ равен $\arccos (\frac{11}{\sqrt{290}}) arc cosine open paren the fraction with numerator 11 and denominator the square root of 290 end-root end-fraction close paren$ ; площадь треугольника $S = 13 cap S equals 13$ ; уравнение описанной окружности: $(x - \frac{31}{26})^{2} + (y - \frac{33}{26})^{2} = \frac{3625}{338} open paren x minus 31 over 26 end-fraction close paren squared plus open paren y minus 33 over 26 end-fraction close paren squared equals 3625 over 338 end-fraction$ . ️ Шаг 1: Расчет длин сторон Используем формулу расстояния между точками $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} d equals the square root of open paren x sub 2 minus x sub 1 close paren squared plus open paren y sub 2 minus y sub 1 close paren squared end-root$ :

$A B = \sqrt{(3 - (-2))^{2} + (4 - 2)^{2}} = \sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29} cap A cap B equals the square root of open paren 3 minus open paren negative 2 close paren close paren squared plus open paren 4 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 5 squared plus 2 squared end-root equals the square root of 29 end-root$ $B C = \sqrt{(1 - 3)^{2} + (-2 - 4)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2} + (-6)^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} cap B cap C equals the square root of open paren 1 minus 3 close paren squared plus open paren negative 2 minus 4 close paren squared end-root equals the square root of open paren negative 2 close paren squared plus open paren negative 6 close paren squared end-root equals the square root of 4 plus 36 end-root equals the square root of 40 end-root equals 2 the square root of 10 end-root$ $A C = \sqrt{(1 - (-2))^{2} + (-2 - 2)^{2}} = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5 cap A cap C equals the square root of open paren 1 minus open paren negative 2 close paren close paren squared plus open paren negative 2 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 3 squared plus open paren negative 4 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 16 end-root equals 5$

️ Шаг 2: Уравнения сторон Используем формулу прямой по двум точкам $\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} the fraction with numerator x minus x sub 1 and denominator x sub 2 minus x sub 1 end-fraction equals the fraction with numerator y minus y sub 1 and denominator y sub 2 minus y sub 1 end-fraction$ :

AB: $\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 2}{2} 2 x + 4 = 5 y - 10 2 x - 5 y + 14 = 0 the fraction with numerator x plus 2 and denominator 5 end-fraction equals the fraction with numerator y minus 2 and denominator 2 end-fraction implies 2 x plus 4 equals 5 y minus 10 implies 2 x minus 5 y plus 14 equals 0$ BC: $\frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 4}{-6} 3 (x - 3) = y - 4 3 x - y - 5 = 0 the fraction with numerator x minus 3 and denominator negative 2 end-fraction equals the fraction with numerator y minus 4 and denominator negative 6 end-fraction implies 3 open paren x minus 3 close paren equals y minus 4 implies 3 x minus y minus 5 equals 0$ AC: $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 2}{-4} -4 x - 8 = 3 y - 6 4 x + 3 y + 2 = 0 the fraction with numerator x plus 2 and denominator 3 end-fraction equals the fraction with numerator y minus 2 and denominator negative 4 end-fraction implies negative 4 x minus 8 equals 3 y minus 6 implies 4 x plus 3 y plus 2 equals 0$

️ Шаг 3: Угол при вершине B Найдем косинус угла между векторами $\vec{B A} = {-5; -2} modified cap B cap A with right arrow above equals the set negative 5 ; negative 2 end-set$ и $\vec{B C} = {-2; -6} modified cap B cap C with right arrow above equals the set negative 2 ; negative 6 end-set$ : $\cos B = \frac{(-5) (-2) + (-2) (-6)}{\sqrt{29} \sqrt{40}} = \frac{10 + 12}{\sqrt{1160}} = \frac{22}{2 \sqrt{290}} = \frac{11}{\sqrt{290}} cosine cap B equals the fraction with numerator open paren negative 5 close paren open paren negative 2 close paren plus open paren negative 2 close paren open paren negative 6 close paren and denominator the square root of 29 end-root the square root of 40 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 10 plus 12 and denominator the square root of 1160 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 22 and denominator 2 the square root of 290 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 11 and denominator the square root of 290 end-root end-fraction$ Следовательно, $∠ B = \arccos (\frac{11}{\sqrt{290}}) \approx 49, 76^{\circ} angle cap B equals arc cosine open paren the fraction with numerator 11 and denominator the square root of 290 end-root end-fraction close paren is approximately equal to 49 comma 76 raised to the composed with power$ . ️ Шаг 4: Площадь треугольника Вычислим через определитель (координаты вершин): $S = \frac{1}{2} | (-2) (4 - (-2)) + 3 (-2 - 2) + 1 (2 - 4) | = \frac{1}{2} | - 12 - 12 - 2 | = \frac{1}{2} | - 26 | = 13 cap S equals one-half the absolute value of open paren negative 2 close paren open paren 4 minus open paren negative 2 close paren close paren plus 3 open paren negative 2 minus 2 close paren plus 1 open paren 2 minus 4 close paren end-absolute-value equals one-half the absolute value of minus 12 minus 12 minus 2 end-absolute-value equals one-half the absolute value of minus 26 end-absolute-value equals 13$ ️ Шаг 5: Описанная окружность Центр $O (x; y) cap O open paren x ; y close paren$ равноудален от вершин. Решая систему уравнений $(x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2} = (x - x_{B})^{2} + (y - y_{B})^{2} open paren x minus x sub cap A close paren squared plus open paren y minus y sub cap A close paren squared equals open paren x minus x sub cap B close paren squared plus open paren y minus y sub cap B close paren squared$ и $(x - x_{B})^{2} + (y - y_{B})^{2} = (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} open paren x minus x sub cap B close paren squared plus open paren y minus y sub cap B close paren squared equals open paren x minus x sub cap C close paren squared plus open paren y minus y sub cap C close paren squared$ , получаем:

$10 x + 4 y = 17 10 x plus 4 y equals 17$ $x + 3 y = 5 x plus 3 y equals 5$
Решение: $x = \frac{31}{26} x equals 31 over 26 end-fraction$ , $y = \frac{33}{26} y equals 33 over 26 end-fraction$ . Радиус $R^{2} = (x_{A} - x_{O})^{2} + (y_{A} - y_{O})^{2} = \frac{3625}{338} cap R squared equals open paren x sub cap A minus x sub cap O close paren squared plus open paren y sub cap A minus y sub cap O close paren squared equals 3625 over 338 end-fraction$ .
Уравнение: $(x - \frac{31}{26})^{2} + (y - \frac{33}{26})^{2} = \frac{3625}{338} open paren x minus 31 over 26 end-fraction close paren squared plus open paren y minus 33 over 26 end-fraction close paren squared equals 3625 over 338 end-fraction$ .

️ Шаг 6: Система неравенств Проверяем знак каждой прямой для внутренней точки (например, центра тяжести $M (2 / 3; 4 / 3) cap M open paren 2 / 3 ; 4 / 3 close paren$ ): ${\begin{matrix} 2 x - 5 y + 14 \geq 0 \\ 3 x - y - 5 \leq 0 \\ 4 x + 3 y + 2 \geq 0 \end{matrix} 3 cases; Case 1: 2 x minus 5 y plus 14 is greater than or equal to 0; Case 2: 3 x minus y minus 5 is less than or equal to 0; Case 3: 4 x plus 3 y plus 2 is greater than or equal to 0 end-cases;$ Ответ:

$A B = \sqrt{29} cap A cap B equals the square root of 29 end-root$ , $B C = 2 \sqrt{10} cap B cap C equals 2 the square root of 10 end-root$ , $A C = 5 cap A cap C equals 5$ ; $A B ∶ 2 x - 5 y + 14 = 0 cap A cap B colon 2 bold x minus 5 bold y plus 14 equals 0$ , $B C ∶ 3 x - y - 5 = 0 cap B cap C colon 3 bold x minus bold y minus 5 equals 0$ , $A C ∶ 4 x + 3 y + 2 = 0 cap A cap C colon 4 bold x plus 3 bold y plus 2 equals 0$ ; $∠ B = \arccos (\frac{11}{\sqrt{290}}) angle cap B equals arc cosine open paren the fraction with numerator 11 and denominator the square root of 290 end-root end-fraction close paren$ ; $S = 13 cap S equals 13$ ; $O (\frac{31}{26}; \frac{33}{26}) cap O open paren 31 over 26 end-fraction ; 33 over 26 end-fraction close paren$ , $R = \frac{5 \sqrt{290}}{26} cap R equals the fraction with numerator 5 the square root of 290 end-root and denominator 26 end-fraction$ , $(x - \frac{31}{26})^{2} + (y - \frac{33}{26})^{2} = \frac{3625}{338} open paren x minus 31 over 26 end-fraction close paren squared plus open paren y minus 33 over 26 end-fraction close paren squared equals 3625 over 338 end-fraction$ ; Система указана в шаге 6.

Нужно ли построить график этого треугольника и окружности для визуальной проверки?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов