Изменяется ли слово фламинго?

Нет, слово «фламинго» в русском языке не изменяется. Оно относится к группе несклоняемых имен существительных, что означает следующее:

• По падежам: слово сохраняет одинаковую форму во всех шести падежах (нет «фламинга» или «фламингу», только «фламинго»).
• По числам: форма слова не меняется при переходе от единственного числа ко множественному. Различие передается только через зависимые слова, например: «красивый фламинго» и «красивые фламинго».
• Грамматический род: согласно правилам русского языка, названия животных и птиц иноязычного происхождения чаще всего относятся к мужскому роду. Однако в некоторых контекстах (например, если подразумевается самка или при согласовании со словом «птица») допустимо использование среднего рода, хотя мужской остается основным вариантом для словарей.

Слово было заимствовано из иностранных языков (через португальский или испанский от латинского flamma — «пламя») и сохранило свою неизменяемую структуру в русской грамматике. Хотите узнать, какие еще названия животных в русском языке не склоняются?