Равносильные неравенства x<12 и x-5<7

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением первого неравенства, является решением и второго, и наоборот. Ниже приведен подробный разбор того, почему неравенства $x<12$ и $x-5<7$ являются равносильными. 1. Анализ первого неравенства Неравенство $x<12$ уже представлено в каноническом виде.

• Решение: Множество всех действительных чисел, которые меньше 12.
• Интервальная запись: $(-\infty ,12)$.

2. Анализ второго неравенства Рассмотрим неравенство $x-5<7$. Чтобы найти его решение, необходимо изолировать переменную $x$. Для этого воспользуемся основными свойствами неравенств:

1. К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится.
2. Прибавим $5$ к обеим частям:
   $x-5+5<7+5$ Произведем вычисления:
   $x<12$

3. Сравнение результатов После преобразования второго неравенства мы получили выражение, идентичное первому неравенству.

Вывод Так как в обоих случаях решением является один и тот же числовой промежуток $(-\infty ,12)$, данные неравенства равносильны. Переход от одного к другому осуществляется с помощью тождественного преобразования (перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком), которое не меняет область допустимых значений и множество корней. Я могу составить для вас аналогичную проверку для систем неравенств или более сложных логарифмических и показательных выражений. Хотите рассмотреть пример с умножением на отрицательное число, где знак неравенства меняется?