Как правильно: мы клеим или клеем?

Правильное написание — клеим. Выбор буквы в окончании зависит от спряжения глагола.

1. Определяем начальную форму: Что делать? — Клеить.
2. Определяем спряжение: Глагол оканчивается на -ить. Согласно правилам русского языка, почти все глаголы на -ить (кроме исключений: брить, стелить, зиждиться, зыбиться) относятся ко II спряжению.
3. Выбираем окончание: У глаголов II спряжения в форме 1-го лица множественного числа (мы) пишется окончание -им.

Примеры спряжения глагола «клеить»:

• Я клею
• Ты клеишь
• Он/она клеит
• Мы клеим
• Вы клеите
• Они клеят

Написание «клеем» является ошибочным, так как это форма существительного «клей» в творительном падеже (гордиться чем? — клеем). В качестве глагола (действия) всегда используется вариант с буквой «и». Для закрепления правила можно ознакомиться с разделом о правописании личных окончаний глаголов на портале Грамота.ру. Вы можете проверить правописание других сложных слов или спряжение глаголов-исключений.