Log2 (8/x) -log2 (корень2x)=-0,5

Для решения уравнения ${\log }_2\left(\frac{8}{x}\right)-{\log }_2\left(\sqrt{2x}\right)=-0,5$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $\frac{8}{x}>0⟹x>0$ $\sqrt{2x}>0⟹x>0$

ОДЗ: $x\in (0;+\infty )$ 2. Преобразование уравнения Используем свойство разности логарифмов ${\log }_a\left(b\right)-{\log }_a\left(c\right)={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$ : ${\log }_2\left(\frac{\frac{8}{x}}{\sqrt{2x}}\right)=-0,5$ Упростим выражение под логарифмом: $\frac{8}{x\cdot \sqrt{2x}}=\frac{8}{x\cdot (2x{)}^{1/2}}=\frac{8}{x\cdot \sqrt{2}\cdot x^{1/2}}=\frac{8}{\sqrt{2}\cdot x^{1,5}}$ Теперь уравнение выглядит так: ${\log }_2\left(\frac{8}{\sqrt{2}\cdot x^{1,5}}\right)=-0,5$ 3. Решение относительно $x$ Согласно определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $\frac{8}{\sqrt{2}\cdot x^{1,5}}=2^{-0,5}$ Вспомним, что $2^{-0,5}=\frac{1}{2^{0,5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ : $\frac{8}{\sqrt{2}\cdot x^{1,5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ : $\frac{8}{x^{1,5}}=1$ Отсюда следует: $x^{1,5}=8$Представим $x^{1,5}$ как $x^{3/2}$, а $8$ как $2^3$: $x^{3/2}=2^3$Возведем обе части в степень $2/3$, чтобы изолировать $x$: $x=(2^3{)}^{2/3}$ $x=2^{3\cdot \frac{2}{3}}$ $x=2^2$ $x=4$4. Проверка Найденное значение $x=4$ входит в ОДЗ ( $4>0$). Подставим в исходное уравнение:

1. ${\log }_2(8/4)={\log }_2\left(2\right)=1$ ${\log }_2\left(\sqrt{2\cdot 4}\right)={\log }_2\left(\sqrt{8}\right)={\log }_2\left(2^{1,5}\right)=1,5$ $1-1,5=-0,5$

Равенство верно. Ответ: $x=4$ Хотите, чтобы я решил аналогичное логарифмическое уравнение или разобрал другое математическое свойство?