Найдите сумму цифр суммы чисел 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + . . . + 10 . . . 01. в последнем числе 20 нулей.

Question

Найдите сумму цифр суммы чисел 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + . . . + 10 . . . 01. в последнем числе 20 нулей.

AlienTiger 23.04.2026 12:04

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения этой задачи необходимо сначала определить количество слагаемых, затем найти саму сумму чисел и, наконец, вычислить сумму её цифр. 1. Определение количества слагаемых Рассмотрим структуру каждого числа в последовательности. Каждое число имеет вид $10^{n} + 1 10 to the n-th power plus 1$ :

$1 = 10^{0} + 0 1 equals 10 to the 0 power plus 0$ (исключение в начале ряда, но далее закономерность стабилизируется) $11 = 10^{1} + 1 11 equals 10 to the first power plus 1$ $101 = 10^{2} + 1 101 equals 10 squared plus 1$ $1001 = 10^{3} + 1 1001 equals 10 cubed plus 1$ ... Последнее число содержит 20 нулей между единицами, что соответствует числу $10^{21} + 1 10 to the 21st power plus 1$ .

Посчитаем общее количество слагаемых. Каждое слагаемое (начиная со второго) характеризуется количеством нулей.

В числе $1111$ — 0 нулей. В числе $101101$ — 1 нуль. В числе $10011001$ — 2 нуля. ... В последнем числе — 20 нулей.

Следовательно, чисел с нулями всего 21 (от 0 до 20 нулей). Добавим к ним первое число («1»), которое стоит перед $1111$ . Итого в ряду 22 слагаемых. 2. Вычисление суммы чисел Разложим каждое число на степени десятки и единицы: $S = 1 + (10^{1} + 1) + (10^{2} + 1) + (10^{3} + 1) + \dots + (10^{21} + 1) cap S equals 1 plus open paren 10 to the first power plus 1 close paren plus open paren 10 squared plus 1 close paren plus open paren 10 cubed plus 1 close paren plus … plus open paren 10 to the 21st power plus 1 close paren$ Сгруппируем отдельно степени десятки и отдельно единицы. Поскольку всего слагаемых 22, а единицу в конце имеют 21 из них (первое число — просто «1»), мы можем представить это так:

Сумма единиц: $1 + \underset{21 раз}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} = 22 1 plus modified 1 plus 1 plus … plus 1 with under brace below with 21 раз below equals 22$ . Сумма степеней десятки: $10^{1} + 10^{2} + 10^{3} + \dots + 10^{21} 10 to the first power plus 10 squared plus 10 cubed plus … plus 10 to the 21st power$ .

Сумма степеней десятки представляет собой число, состоящее из 21 единицы и одного нуля в конце: $111 111 111 111 111 111 111 0 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 0$ Теперь прибавим к этому числу сумму единиц (22): $111 111 111 111 111 111 111 0 + 22 = 111 111 111 111 111 111 111 32 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 0 plus 22 equals 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 111 space 32$ 3. Нахождение суммы цифр Полученное число состоит из:

20 единиц (так как последняя единица из ряда степеней десятки в разряде десятков сложилась с двойкой от числа 22: $10 + 22 = 32 10 plus 22 equals 32$ ). Одной цифры 3. Одной цифры 2.

Вычисляем итоговую сумму цифр: $Сумма = (20 \times 1) + 3 + 2 = 20 + 5 = 25 Сумма equals open paren 20 cross 1 close paren plus 3 plus 2 equals 20 plus 5 equals 25$ Ответ: 25. Хотите, чтобы я разобрал аналогичную задачу с другой последовательностью или геометрической прогрессией?

Найдите сумму цифр суммы чисел 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + . . . + 10 . . . 01. в последнем числе 20 нулей.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов