В данном предложении знаки препинания не нужны. Ни в одном из указанных мест (1, 2, 3, 4) запятая не ставится. Ниже приведено подробное обоснование для каждого случая: Разбор структуры предложения 1. Пункты (1) и (2): Определение при существительном Фраза «недавно появившийся у нас» является причастным оборотом. Согласно правилам пунктуации, причастный оборот, стоящий перед определяемым словом (существительным «щенок»), запятыми не выделяется.
- Сравните: «Щенок, недавно появившийся у нас, осваивает мир» (здесь запятые нужны, так как оборот стоит после существительного).
2. Пункт (3): Подлежащее и сказуемое В этом месте нельзя ставить знак, так как он разорвал бы грамматическую основу: «щенок (подлежащее) осваивает (сказуемое)». Между главными членами предложения запятая не ставится. 3. Пункт (4): Деепричастный оборот Слово «заодно» является наречием и относится к сказуемому «осваивает». Деепричастный оборот «прощупывая границы дозволенного» начинается после слова «заодно». Запятая (4) не ставится, так как «заодно» тесно примыкает к деепричастию по смыслу, выполняя роль обстоятельства. Ставить запятую между наречием и деепричастием в данной конструкции не требуется. Итоговый верный вариант:
Уже две недели недавно появившийся у нас щенок осваивает мир заодно прощупывая границы дозволенного.
Я могу составить для вас краткую шпаргалку по правилам обособления причастных и деепричастных оборотов, чтобы в будущем вам было легче проверять подобные предложения. Хотите?