Внешний угол треугольника и его свойства

Определение внешнего угла треугольника Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо внутренним углом этого треугольника. Если рассмотреть треугольник с вершинами $A,B$ и $C$, то для каждого внутреннего угла можно построить два внешних (путем продления одной или другой стороны), которые будут равны между собой как вертикальные. Всего у треугольника 6 внешних углов (по два при каждой вершине). Основные свойства Внешний угол обладает рядом геометрических особенностей, которые позволяют упрощать решение задач:

• Свойство о сумме с внутренним углом:
  Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют 180°. Это следует из определения смежных углов.
• Теорема о величине внешнего угла:
  Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

  Если $\alpha$ и $\beta$ — внутренние углы, а ${\gamma }_{ext}$ — внешний угол при третьей вершине, то:
  ${\gamma }_{ext}=\alpha +\beta$

• Свойство неравенства:
  Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
• Сумма внешних углов:
  Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°.

Доказательство теоремы о внешнем угле Чтобы доказать, что внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, можно использовать базовое свойство суммы углов треугольника:

1. Пусть углы треугольника равны $\angle 1,\angle 2$ и $\angle 3$. Известно, что их сумма: $\angle 1+\angle 2+\angle 3={180}^{\circ }$. Пусть $\angle 4$ — внешний угол, смежный с углом $\angle 3$. Так как они смежные: $\angle 3+\angle 4={180}^{\circ }$. Выразим $\angle 3$ из обоих равенств:
   • $\angle 3={180}^{\circ }-(\angle 1+\angle 2)$ $\angle 3={180}^{\circ }-\angle 4$
   Следовательно: ${180}^{\circ }-(\angle 1+\angle 2)={180}^{\circ }-\angle 4$, что приводит к равенству:
   $\angle 4=\angle 1+\angle 2$

Сводная таблица взаимосвязей

Я могу составить для вас подборку типовых задач на применение этих свойств с пошаговым разбором решений.