1)найти: нод (30,12)= нок (30,12)= нод (25,4)= нок (25,4)= нод (28,48)= нок (25,48)= 2)разложить на множетели 2688 и 1056 3)определите будут ли числа а) 728 и 1275 б) 94 и 616 взаимно простыми?

Для решения данных задач воспользуемся методами разложения на простые множители и свойствами делимости.

1. $\text{НОД}(30,12)=6$, $\text{НОК}(30,12)=60$; $\text{НОД}(25,4)=1$, $\text{НОК}(25,4)=100$; $\text{НОД}(28,48)=4$, $\text{НОК}(25,48)=1200$
2. $2688=2^7\cdot 3\cdot 7$; $1056=2^5\cdot 3\cdot 11$
3. а) Да, являются; б) Нет, не являются.

1. Нахождение НОД и НОК Для поиска Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) разложим числа на простые множители:

• Пара (30, 12):
  $30=2\cdot 3\cdot 5$
  $12=2^2\cdot 3$
  $\text{НОД}=2\cdot 3=6$
  $\text{НОК}=2^2\cdot 3\cdot 5=60$ Пара (25, 4):
  $25=5^2$
  $4=2^2$
  Числа не имеют общих множителей, кроме $1$.
  $\text{НОД}=1$
  $\text{НОК}=25\cdot 4=100$ Пара (28, 48) и (25, 48):
  $28=2^2\cdot 7$
  $48=2^4\cdot 3$
  $\text{НОД}(28,48)=2^2=4$Для $\text{НОК}(25,48)$:
  $25=5^2$
  $48=2^4\cdot 3$
  Общих множителей нет, $\text{НОК}=25\cdot 48=1200$

2. Разложение на множители Разложим числа последовательным делением на простые числа:

• Число 2688:
  $2688:2=1344$
  $1344:2=672$
  $672:2=336$
  $336:2=168$
  $168:2=84$
  $84:2=42$
  $42:2=21$
  $21:3=7$
  $7:7=1$
  Результат: $2688=2^7\cdot 3\cdot 7$ Число 1056:
  $1056:2=528$
  $528:2=264$
  $264:2=132$
  $132:2=66$
  $66:2=33$
  $33:3=11$
  $11:11=1$
  Результат: $1056=2^5\cdot 3\cdot 11$

3. Взаимно простые числа Числа называются взаимно простыми, если их $\text{НОД}=1$.

• а) 728 и 1275:
  $728=2^3\cdot 7\cdot 13$
  $1275=3\cdot 5^2\cdot 17$
  Общих простых множителей нет. $\text{НОД}=1$. Числа взаимно простые. б) 94 и 616:
  Оба числа являются четными (оканчиваются на $4$ и $6$), следовательно, они оба делятся на $2$.
  $\text{НОД}\ge 2$. Числа не являются взаимно простыми.

Ответ

1. $\text{НОД}(30,12)=6$, $\text{НОК}(30,12)=60$; $\text{НОД}(25,4)=1$, $\text{НОК}(25,4)=100$; $\text{НОД}(28,48)=4$, $\text{НОК}(25,48)=1200$. $2688=2^7\cdot 3\cdot 7$, $1056=2^5\cdot 3\cdot 11$. Числа 728 и 1275 являются взаимно простыми, а 94 и 616 — нет.

Хотите ли вы разобрать алгоритм нахождения наименьшего общего кратного для более чем двух чисел или изучить алгоритм Евклида для быстрого поиска НОД?