2*16^x+3*36^x-9*81^x=0

Для решения уравнения $2\cdot {16}^x+3\cdot {36}^x-9\cdot {81}^x=0$ воспользуемся методом сведения к однородному уравнению. 1. Преобразование оснований Заметим, что все основания являются степенями чисел 2 и 3:

• ${16}^x=(2^4{)}^x=(2^{2x}{)}^2$ или $(4^x{)}^2$ ${81}^x=(3^4{)}^x=(3^{2x}{)}^2$ или $(9^x{)}^2$ ${36}^x=(4\cdot 9{)}^x=4^x\cdot 9^x$

Перепишем уравнение в виде: $2\cdot (4^x{)}^2+3\cdot (4^x\cdot 9^x)-9\cdot (9^x{)}^2=0$2. Деление на $(9^x{)}^2$ Так как значение $9^x$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $(9^x{)}^2$, чтобы перейти к одной переменной: $\frac{2\cdot (4^x{)}^2}{(9^x{)}^2}+\frac{3\cdot 4^x\cdot 9^x}{(9^x{)}^2}-\frac{9\cdot (9^x{)}^2}{(9^x{)}^2}=0$ После сокращения получаем: $2\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{2x}+3\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^x-9=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{4}{9}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда уравнение принимает вид квадратного: $2t^2+3t-9=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 2\cdot \left(-9\right)=9+72=81$Находим корни $t$: $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm 9}{4}$

• $t_1=\frac{-3+9}{4}=\frac{6}{4}=1.5$ (или $\frac{3}{2}$ ) $t_2=\frac{-3-9}{4}=-3$

Так как по условию замены $t>0$, корень $t_2=-3$ не подходит. 5. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$ с подходящим корнем: ${\left(\frac{4}{9}\right)}^x=\frac{3}{2}$ Заметим, что $\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ , а $\frac{3}{2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$ . Перепишем уравнение: ${\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$ ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$ Приравниваем показатели степеней: $2x=-1$ $x=-0.5$Ответ: $x=-0.5$ Могу ли я помочь с разбором других логарифмических или показательных уравнений?