14. в алфавите племени мумба – юмба 5 букв: м, у, б, а, ю. словом в словаре этого племени является последовательность не более чем 4 букв. a) сколько всего слов в словаре этого племени? b) сколько слов имеют хотя бы одну гласную букву? c) сколько слов состоят только из согласных букв? d) сколько слов начинаются с буквы м?

Для решения этой задачи воспользуемся правилами комбинаторики. В алфавите 5 букв: м, у, б, а, ю.

• Гласные: у, а, ю (3 буквы).
• Согласные: м, б (2 буквы).
  Словом считается любая последовательность длиной от 1 до 4 букв.

a) Сколько всего слов в словаре? Количество слов длиной $n$ при алфавите из $k$ символов вычисляется как $k^n$. Суммируем варианты для слов разной длины:

• Длина 1: $5^1=5$ Длина 2: $5^2=25$ Длина 3: $5^3=125$ Длина 4: $5^4=625$

Всего слов: $5+25+125+625=780$. b) Сколько слов состоят только из согласных букв? Согласных букв всего 2 (м, б). Аналогично суммируем варианты, используя только эти буквы:

• Длина 1: $2^1=2$ Длина 2: $2^2=4$ Длина 3: $2^3=8$ Длина 4: $2^4=16$

Всего слов из согласных: $2+4+8+16=30$. c) Сколько слов имеют хотя бы одну гласную букву? Чтобы найти количество слов, содержащих «хотя бы одну» гласную, проще всего вычесть из общего количества слов те, в которых гласных нет вообще (то есть слова, состоящие только из согласных).

• Общее количество слов (из пункта а): 780
• Слова только из согласных (из пункта b): 30

Количество слов с хотя бы одной гласной: $780-30=750$. d) Сколько слов начинаются с буквы м? Если слово начинается с буквы м, то первая позиция фиксирована, а на остальных позициях может стоять любая из 5 букв алфавита.

• Длина 1: только слово «м» — 1 вариант
• Длина 2: «м» + (любая из 5) — $5^1=5$ вариантов Длина 3: «м» + (любая из 5) × (любая из 5) — $5^2=25$ вариантов Длина 4: «м» + (5 вариантов) × (5 вариантов) × (5 вариантов) — $5^3=125$ вариантов

Всего слов на букву «м»: $1+5+25+125=156$. Итоговая таблица результатов:

Хотите, чтобы я составил аналогичный расчет для алфавита другой длины или изменил ограничение по количеству букв в слове?