Как писать разбросать или расбросать?

Правильно писать разбросать. Выбор буквы в приставке зависит от следующего за ней согласного звука:

• Буква З пишется перед гласными и звонкими согласными (б, в, г, д, ж, з, л, м, н, р).
• Буква С пишется перед глухими согласными (к, п, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ).

В слове разбросать корень начинается со звонкого согласного «б», поэтому на конце приставки пишется «з». Дополнительные правила для этой приставки:

• Гласная в приставке: В приставках раз-/рас- и роз-/рос- под ударением пишется «о» (ро́ссыпь), а без ударения — «а» (разбросать, рассы́пать).
• Наречие: Похожее по корню наречие вразброс также пишется через «з» и всегда слитно.

Для проверки правописания других слов с этой приставкой можно воспользоваться справочником на портале Грамота.ру. Нужно ли вам разобрать другие примеры слов с приставками на -з/-с?