Как правильно написать моё или мой день рождения

Правильный вариант — «мой день рождения». Ниже приведены основные правила и причины такого написания:

• Согласование по роду. В словосочетании «день рождения» главным словом является «день», которое относится к мужскому роду. Местоимение должно согласовываться именно с ним, а не со словом «рождение». Следовательно, правильно говорить: мой (твой, свой) день рождения.
• Склонение. При изменении фразы по падежам склоняется только слово «день», а «рождения» остается неизменным: нет моего дня рождения, рад моему дню рождения, поздравляю с моим днем рождения.
• Типичные ошибки. Употребление «моё день рождения» или «моё день рождение» является грубой грамматической ошибкой, так как в этом случае местоимение ошибочно согласуют со вторым словом или воспринимают всё сочетание как существительное среднего рода.
• Правописание. Название этого личного праздника пишется со строчной (маленькой) буквы: день рождения. Использование заглавной буквы допустимо только в официальных названиях государственных праздников или для придания особой торжественности в открытках.

Подробную информацию о нормах употребления можно найти в Словаре трудностей на портале Грамота.ру.