Как правильно проэкт или проект

Правильно писать «проект». Вариант через «э» является орфографической ошибкой. Ниже приведены подробные правила и причины такого написания:

• Орфографическое правило. Согласно правилам русской орфографии, после гласных (кроме «и») обычно пишется буква «э» (например, поэзия, статуэтка, маэстро). Однако слова проект, проекция, проектор, проектировать, а также траектория являются исключениями из этого правила, и в них всегда пишется «е».
• Этимология. Слово заимствовано из латинского языка (projectus — «выступающий вперед»). В русском языке закрепилась традиция передачи этого латинского корня через букву «е», несмотря на произношение.
• Фонетическая особенность. Хотя пишется «проект», произносится это слово со звуком [э] — [про-экт]. Отсутствие йотированного звука [й] в произношении часто вводит в заблуждение, заставляя людей ошибочно писать букву «э».
• Производные слова. Аналогичное правило действует для всех родственных слов: проектировщик, проекционный, спецпроект, дизайн-проект.

Важное замечание: В украинском языке после реформы правописания 2019 года правильным вариантом стало написание через «є» — «проєкт», но в русском языке единственно верным остается вариант «проект». Проверить написание слова в официальных источниках можно через орфографический словарь на портале Грамота.ру. Нужно ли вам уточнить правила склонения этого слова или его сочетаемость с другими частями речи?