Как правилно жили или жыли

Правильно писать жили. Согласно фундаментальному правилу русской орфографии, сочетания жи и ши всегда пишутся с буквой и. Использование буквы ы в этих сочетаниях является ошибкой, несмотря на то, что согласные [ж] и [ш] в современном русском языке всегда произносятся твердо. Ключевые моменты:

• Слово «жили» — это форма прошедшего времени глагола жить.
• В учебниках начальной школы это правило закрепляется фразой: «Жи-ши пиши с буквой и».
• Существует устойчивое сказочное выражение жили-были, которое пишется через дефис и также подчиняется этому правилу.
• Написание через «ы» (жыли) встречается только в некоторых других языках (например, в казахском слово «жыл» означает «год»), но в русском языке оно недопустимо.

Если вам интересно узнать, почему возникло такое несовпадение произношения и написания, я могу рассказать об истории изменения звуков в древнерусском языке.