Какое из чисел больше: 54 в 4 степени или 21 в 12 степени?( докажите)25 в 7 степени или 125 в 5 степени? (докажите)

В первом случае число ${21}^{12}$ больше, чем ${54}^4$, а во втором случае число ${125}^5$ больше, чем ${25}^7$. ️ Шаг 1: Сравнение чисел ${54}^4$ и ${21}^{12}$ Разложим основания степеней на простые множители, чтобы привести выражения к сопоставимому виду. Представим $54$ как $2\cdot 3^3$, а $21$ как $3\cdot 7$. Подставим эти значения в исходные выражения: ${54}^4=(2\cdot 3^3{)}^4=2^4\cdot (3^3{)}^4=2^4\cdot 3^{12}$ ${21}^{12}=(3\cdot 7{)}^{12}=3^{12}\cdot 7^{12}$Теперь сравним полученные произведения $2^4\cdot 3^{12}$ и $7^{12}\cdot 3^{12}$. Так как множитель $3^{12}$ является общим для обеих частей, достаточно сравнить оставшиеся части: $2^4=16$ $7^{12}=(7^2{)}^6={49}^6$Очевидно, что ${49}^6$ значительно больше $16$. Следовательно, ${21}^{12}>{54}^4$. ️ Шаг 2: Сравнение чисел ${25}^7$ и ${125}^5$ Для сравнения этих чисел приведем их к общему основанию $5$. Мы знаем, что $25=5^2$, а $125=5^3$. Используем свойство возведения степени в степень $(a^n{)}^m=a^{n\cdot m}$: ${25}^7=(5^2{)}^7=5^{2\cdot 7}=5^{14}$ ${125}^5=(5^3{)}^5=5^{3\cdot 5}=5^{15}$Сравним показатели степеней при одинаковом основании $5$. Так как основание больше единицы ( $5>1$), то больше та степень, чей показатель больше. Поскольку $15>14$, получаем: $5^{15}>5^{14}$Следовательно, ${125}^5>{25}^7$. Ответ: В первой паре ${21}^{12}>{54}^4$, во второй паре ${125}^5>{25}^7$. Нужно ли вам разобрать аналогичные примеры с отрицательными основаниями или дробными показателями степени?