Найдите точки экстремума функции y=x^2-3x+2\x^2+3x+2

Точками экстремума функции являются $x=-\sqrt{2}$ (точка максимума) и $x=\sqrt{2}$ (точка минимума). ️ Шаг 1: Определение области определения функции Функция представляет собой дробь, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. $x^2+3x+2\ne 0$Корнями уравнения $x^2+3x+2=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=-2$. Следовательно, область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup (-1;+\infty )$. ️ Шаг 2: Нахождение производной функции Используем правило дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ . Пусть $u=x^2-3x+2$, тогда $u^{\prime }=2x-3$. Пусть $v=x^2+3x+2$, тогда $v^{\prime }=2x+3$. Вычисляем производную: $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x^2+3x+2)-(x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2{)}^2}$ Раскроем скобки в числителе: $(2x^3+6x^2+4x-3x^2-9x-6)-(2x^3+3x^2-6x^2-9x+4x+6)=6x^2-12$Итоговая производная: $y^{\prime }=\frac{6x^2-12}{(x^2+3x+2{)}^2}$ ️ Шаг 3: Нахождение критических точек Приравниваем производную к нулю: $\frac{6x^2-12}{(x^2+3x+2{)}^2}=0⟹6x^2-12=0⟹x^2=2$ Получаем две критические точки: $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}$ . Обе точки входят в область определения. ️ Шаг 4: Определение знаков производной Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя $6(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ .

1. При $x<-\sqrt{2}$ , $y^{\prime }>0$ (функция возрастает). При $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ (исключая разрывы), $y^{\prime }<0$ (функция убывает). При $x>\sqrt{2}$ , $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).

В точке $x=-\sqrt{2}$ знак меняется с $+$ на $-$, это максимум. В точке $x=\sqrt{2}$ знак меняется с $-$ на $+$, это минимум. Ответ: Точки экстремума: $x_{max}=-\sqrt{\mathbf{2}}$ , $x_{min}=\sqrt{\mathbf{2}}$ . Нужно ли вам также рассчитать значения функции в этих точках для построения графика?