Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Чтобы найти все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению $p+q=(p-q{)}^3$, проанализируем свойства четности и делимости обеих частей уравнения. 1. Анализ четности Пусть $p-q=d$. Тогда уравнение принимает вид $p+q=d^3$. Заметим следующее:

• Если $p$ и $q$ оба нечетные, то их разность $d=p-q$ — четное число, а их сумма $p+q$ — также четное число. Если одно из чисел (например, $q$) равно $2$ (единственное четное простое число), а второе нечетное, то их разность $d$ будет нечетной, и сумма $p+q$ также будет нечетной.

2. Оценка разности Так как $p$ и $q$ — простые (положительные) числа, то $p+q>0$. Следовательно, $(p-q{)}^3>0$, что означает $p>q$. Из уравнения $p+q=(p-q{)}^3$ видно, что разность $d=p-q$ не может быть очень большой. Если $d=1$, то $p-q=1$. Единственная пара простых чисел с разностью $1$ — это $(3,2)$. Проверим: $3+2=5$, а $(3-2{)}^3=1^3=1$. $5\ne 1$. 3. Рассмотрение случая $d=2$ Если $d=p-q=2$, то: $p+q=2^3=8$ Составим систему уравнений:

1. $p-q=2$ $p+q=8$

Сложим уравнения: $2p=10\mathbf{p}\mathbf{=}\mathbf{5}$. Вычтем уравнения: $2q=6\mathbf{q}\mathbf{=}\mathbf{3}$. Проверка: $5$ и $3$ — простые числа. $5+3=8$, $(5-3{)}^3=2^3=8$. Решение найдено. 4. Исследование других значений $d$ Выразим $p$ и $q$ через $d$: Из системы: $\{\begin{array}{c}p-q=d\\ p+q=d^3\end{array}$ Получаем: $2p=d^3+d=d(d^2+1)$ $2q=d^3-d=d(d^2-1)=d(d-1)(d+1)$ Ранее мы выяснили, что если $p$ и $q$ оба нечетные, то $d$ — четное число.

• Если $d=4$:
  $2q=4(4^2-1)=4\times 15=60q=30$. Число $30$ не является простым. Если $d=6$:
  $2q=6(6^2-1)=6\times 35=210q=105$. Не является простым.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел — четное, то есть $q=2$: $p+2=(p-2{)}^3$ Пусть $x=p-2$, тогда $p=x+2$. $(x+2)+2=x^{3}x+4=x^3{x}^3-x-4=0$. Проверим целые корни среди делителей числа $4$ ( $\pm 1,\pm 2,\pm 4$):

• $x=1:1-1-4=-4\ne 0$ $x=2:8-2-4=2\ne 0$ $x=-1:-1+1-4\ne 0$ $x=-2:-8+2-4\ne 0$
  Целых решений для $x$ нет, следовательно, $q=2$ не дает решений в простых числах.

Так как функция $f\left(d\right)=\frac{d(d^2-1)}{2}$ растет очень быстро, при $d>2$ значение $q$ всегда будет составным числом (оно будет делиться на $d$, $\frac{d}{2}$ или множители $d-1$ и $d+1$), за исключением очень малых значений, которые мы уже проверили. Ответ: Единственная пара простых чисел: p = 5, q = 3. Я могу также помочь с решением других диофантовых уравнений или задач по теории чисел. Хотите рассмотреть похожую задачу?