Найти пределы,используя эквивалентные бесконечно-малые lim x->0 ln(1+2x)/tg(2п(x+1/2)

Для нахождения предела $\underset{x0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{\text{tg}\left(2\pi \right(x+1/2\left)\right)}$ воспользуемся методами тригонометрических преобразований и замены бесконечно малых эквивалентными величинами. 1. Преобразование знаменателя Сначала упростим аргумент тангенса в знаменателе: $\text{tg}\left(2\pi (x+\frac{1}{2})\right)=\text{tg}(2\pi x+\pi )$ Используя свойство периодичности тангенса ( $\text{tg}(\alpha +\pi )=\text{tg}\left(\alpha \right)$), получаем: $\text{tg}(2\pi x+\pi )=\text{tg}\left(2\pi x\right)$Таким образом, предел принимает вид: $\underset{x0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{\text{tg}\left(2\pi x\right)}$ 2. Использование эквивалентных бесконечно малых При $x0$ мы можем использовать следующие стандартные эквивалентности:

• Для логарифма: $\ln (1+u)\sim u$ при $u0$.
  В нашем случае $u=2x$, следовательно: $\ln (1+2x)\sim 2x$. Для тангенса: $\text{tg}\left(u\right)\sim u$ при $u0$.
  В нашем случае $u=2\pi x$, следовательно: $\text{tg}\left(2\pi x\right)\sim 2\pi x$.

3. Вычисление предела Подставим эквивалентные выражения в предел: $\underset{x0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{\text{tg}\left(2\pi x\right)}=\underset{x0}{\lim }\frac{2x}{2\pi x}$ Сокращаем на $2x$: $\frac{2x}{2\pi x}=\frac{1}{\pi }$ Ответ: $\underset{x0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{\text{tg}\left(2\pi \right(x+1/2\left)\right)}=\frac{1}{\pi }$ Хотите, чтобы я разобрал другой предел или помог с проверкой аналогичного задания?