Найти все значения корня: корень 3 степени из 27

Для нахождения всех значений корня третьей степени из числа 27 необходимо рассматривать задачу в поле комплексных чисел. Согласно основной теореме алгебры, корень $n$-й степени из ненулевого числа имеет ровно $n$ различных значений. 1. Алгебраический подход Уравнение $x^3=27$ можно переписать в виде: $x^3-27=0$Используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем: $(x-3)(x^2+3x+9)=0$Это уравнение распадается на два:

1. Первый корень (вещественный):
   $x-3=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ Второй и третий корни (комплексные):
   $x^2+3x+9=0$
   Решаем через дискриминант:
   $D=3^2-4\cdot 1\cdot 9=9-36=-27$
   $\sqrt{D}=\sqrt{-27}=3i\sqrt{3}$ $x_{2,3}=\frac{-3\pm 3i\sqrt{3}}{2}=-1.5\mathbf{\pm }\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{i}$

2. Тригонометрическая форма (Формула Муавра) Любое комплексное число $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ имеет корни $n$-й степени, вычисляемые по формуле: $w_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n}),\text{где}k=0,1,2$ Для числа 27:

• Модуль $r=27$ Аргумент $\varphi =0$

Вычисления:

• При $k=0$:
  $x_1=3(\cos 0+i\sin 0)=\mathbf{3}$ При $k=1$:
  $x_2=3(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})=3(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1.5\mathbf{+}1.5\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{3}}$ При $k=2$:
  $x_3=3(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})=3(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1.5\mathbf{-}1.5\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{3}}$

Итоговые значения Все три значения корня $\sqrt[3]{27}$ :

Хотите, чтобы я помог составить аналогичный расчет для другого числа или степени?