Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 18 см и 36 см. расстояние от вершины большего основания до противолежащей стороны меньшего основания пирамиды равно 2* корень из 19 см. найдите боковую поверхность пирамиды.

Question

Периметры оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 18 см и 36 см. расстояние от вершины большего основания до противолежащей стороны меньшего основания пирамиды равно 2* корень из 19 см. найдите боковую поверхность пирамиды.

tame_white 10.03.2026 09:25

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 54 см $^{2} squared$ . ️ Шаг 1: Определение сторон оснований Пириметры оснований правильной треугольной пирамиды $P_{1} = 18 cap P sub 1 equals 18$ см и $P_{2} = 36 cap P sub 2 equals 36$ см. Так как в основании лежат правильные треугольники:

Сторона меньшего основания: $a_{1} = \frac{P_{1}}{3} = \frac{18}{3} = 6 a sub 1 equals the fraction with numerator cap P sub 1 and denominator 3 end-fraction equals eighteen-thirds equals 6$ см. Сторона большего основания: $a_{2} = \frac{P_{2}}{3} = \frac{36}{3} = 12 a sub 2 equals the fraction with numerator cap P sub 2 and denominator 3 end-fraction equals 36 over 3 end-fraction equals 12$ см.

️ Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды Пусть $A_{2} cap A sub 2$ — вершина большего основания, а $M cap M$ — середина противолежащей стороны меньшего основания $B_{1} C_{1} cap B sub 1 cap C sub 1$ . По условию $A_{2} M = 2 \sqrt{19} cap A sub 2 cap M equals 2 the square root of 19 end-root$ см. В правильной пирамиде центры оснований $O_{1} cap O sub 1$ и $O_{2} cap O sub 2$ лежат на одной вертикальной оси.

Радиус вписанной окружности меньшего основания: $r_{1} = \frac{a_{1}}{2 \sqrt{3}} = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} r sub 1 equals the fraction with numerator a sub 1 and denominator 2 the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 6 and denominator 2 the square root of 3 end-root end-fraction equals the square root of 3 end-root$ см. Отрезок $O_{1} M = r_{1} cap O sub 1 cap M equals r sub 1$ . Радиус описанной окружности большего основания: $R_{2} = \frac{a_{2}}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3} cap R sub 2 equals the fraction with numerator a sub 2 and denominator the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 12 and denominator the square root of 3 end-root end-fraction equals 4 the square root of 3 end-root$ см. Отрезок $O_{2} A_{2} = R_{2} cap O sub 2 cap A sub 2 equals cap R sub 2$ . Проекция отрезка $A_{2} M cap A sub 2 cap M$ на плоскость нижнего основания равна $R_{2} + r_{1} cap R sub 2 plus r sub 1$ (так как вершина и середина противоположной стороны лежат по разные стороны от центра оси):
$d_{p r o j} = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} d sub p r o j end-sub equals 4 the square root of 3 end-root plus the square root of 3 end-root equals 5 the square root of 3 end-root$ см. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $A_{2} M cap A sub 2 cap M$ найдем высоту пирамиды $H cap H$ :
$H^{2} = (A_{2} M)^{2} - (d_{p r o j})^{2} = (2 \sqrt{19})^{2} - (5 \sqrt{3})^{2} = 76 - 75 = 1 ⟹ H = 1 см cap H squared equals open paren cap A sub 2 cap M close paren squared minus open paren d sub p r o j end-sub close paren squared equals open paren 2 the square root of 19 end-root close paren squared minus open paren 5 the square root of 3 end-root close paren squared equals 76 minus 75 equals 1 ⟹ cap H equals 1 см$

️ Шаг 3: Нахождение апофемы и боковой поверхности Апофема $l l$ — это высота боковой грани (равнобедренной трапеции). Она соединяет середины сторон $M cap M$ и $N cap N$ верхнего и нижнего оснований.

Проекция апофемы на плоскость основания: $r_{2} - r_{1} = \frac{12}{2 \sqrt{3}} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} r sub 2 minus r sub 1 equals the fraction with numerator 12 and denominator 2 the square root of 3 end-root end-fraction minus the square root of 3 end-root equals 2 the square root of 3 end-root minus the square root of 3 end-root equals the square root of 3 end-root$ см. Вычислим апофему $l l$ :
$l = \sqrt{H^{2} + (r_{2} - r_{1})^{2}} = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2 см l equals the square root of cap H squared plus open paren r sub 2 minus r sub 1 close paren squared end-root equals the square root of 1 squared plus open paren the square root of 3 end-root close paren squared end-root equals the square root of 1 plus 3 end-root equals 2 см$ Площадь боковой поверхности:
$S_{l a t} = \frac{P_{1} + P_{2}}{2} \cdot l = \frac{18 + 36}{2} \cdot 2 = 54 {см}^{2} cap S sub l a t end-sub equals the fraction with numerator cap P sub 1 plus cap P sub 2 and denominator 2 end-fraction center dot l equals the fraction with numerator 18 plus 36 and denominator 2 end-fraction center dot 2 equals 54 см squared$

Ответ: Боковая поверхность пирамиды составляет 54 см $^{2} squared$ . Требуется ли вам расчет полной поверхности этой пирамиды, включая площади обоих оснований?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов