В правильной четырёхугольной пирамиде mabcd сторона основания равна 6,a боковое ребро 5. найдите: а)площадь боковой поверхности пирамиды. б)обьем пирамиды в)угол наклона боковой грани к плоскости основания г)скалярное произведение векторов (аd+ab) x am д)площадь описанной около пирамиды сферы е)угол между bd и плоскастью bmc

Для правильной четырёхугольной пирамиды с заданной стороной основания $a=6$ и боковым ребром $l=5$ получены следующие результаты: площадь боковой поверхности составляет 48, объем равен 12\sqrt{7}, угол наклона боковой грани равен \arccos(0.75), скалярное произведение векторов равно 36, площадь сферы составляет \frac{625\pi}{7}, а угол между прямой и плоскостью равен \arcsin(\frac{\sqrt{14}}{8}). ️ Шаг 1: Нахождение геометрических характеристик пирамиды Основание пирамиды — квадрат $ABCD$ со стороной $a=6$. Диагональ основания $AC=BD=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ . Точка $O$ — центр основания, тогда $AO=\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$ . Высоту пирамиды $H=MO$ находим из прямоугольного треугольника $MOA$: $H=\sqrt{M{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt{7}$ Апофему $h_a$ (высоту боковой грани) находим из треугольника $MDC$, где $E$ — середина $DC$: $h_a=\sqrt{M{C}^2-E{C}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$ ️ Шаг 2: Расчет площади поверхности и объема а) Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=\frac{1}{2}{P}_{осн}\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot (4\cdot 6)\cdot 4=48$ б) Объем пирамиды: $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot \sqrt{7}=12\sqrt{7}$ ️ Шаг 3: Определение углов и скалярного произведения в) Угол наклона боковой грани $\alpha$ к основанию определяется из треугольника $MOE$, где $OE=\frac{a}{2}=3$ : $\cos \alpha =\frac{OE}{ME}=\frac{3}{4}⟹\alpha =\arccos \left(0.75\right)$ г) Скалярное произведение $(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AM}$. Заметим, что $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Тогда: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AM}=\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|{\text{пр}}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{AM}\right|=AC\cdot AO=6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=36$ ️ Шаг 4: Сфера и угол между прямой и плоскостью д) Радиус описанной сферы $R$: $R=\frac{l^2}{2H}=\frac{25}{2\sqrt{7}}$ Площадь сферы: $S_{сф}=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{625}{4\cdot 7}=\frac{625\pi }{7}$ е) Угол $\theta$ между $BD$ и плоскостью $BMC$. Введем координаты: $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $M(0,0,\sqrt{7})$ , $D(-3,3,0)$. Направляющий вектор $\overrightarrow{BD}=(-6,6,0)$. Вектор нормали к плоскости $BMC$: $\vec{n}=(\sqrt{7},0,3)$ . $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \vec{n}|}{\left|\overrightarrow{BD}\right|\cdot \left|\vec{n}\right|}=\frac{|-6\sqrt{7}|}{6\sqrt{2}\cdot 4}=\frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{8}⟹\theta =\arcsin \left(\frac{\sqrt{14}}{8}\right)$ Ответ: а) 48 б) 12\sqrt{7} в) \arccos(0.75) г) 36 д) \frac{625\pi}{7} е) \arcsin(\frac{\sqrt{14}}{8}) Нужно ли рассчитать расстояние от центра основания до боковой грани или рассмотреть сечение пирамиды плоскостью? Good response Bad response