Правильно написать (во)век не забуду, (от)нын… и (во)веки, сохраним (во)(веки)веков, запомним (на)(веки)вечные, трещать (без)умолку, уйти (ни)(с)чем, (в)последстви… все понял, плыть (по)тихоньк…, начать все (с)…знов…, (по)напрасн… не горюй, действовал (в)слепую, (за)ведом… неправильный, затянул (на)туг…, (на)половину пуст, настроен (по)боевому, залечь (на)боковую, все (в)разброд, диктовать (в)разбивку и (по)очереди, бежать (без)оглядки, приди (после)завтр…, с веком (на)р…вне, стоять (на)вытяжку.

Ниже приведены правильные варианты написания слов и словосочетаний с необходимыми пояснениями. Слитное, раздельное и дефисное написание наречий

• Вовек не забуду — наречие со значением «никогда», пишется слитно.
• Отныне и вовеки — «вовеки» является наречием времени, пишется слитно; на конце пишется и.
• Во веки веков — устойчивое сочетание, пишется раздельно в три слова (исключение из правил о наречиях).
• На веки вечные — пишется раздельно, так как у существительного «веки» есть зависимое слово «вечные».
• Трещать без умолку — наречное сочетание (предлог + существительное), пишется раздельно.
• Уйти ни с чем — отрицательное местоимение с предлогом пишется в три слова.
• Впоследствии все понял — наречие, пишется слитно; на конце всегда и.
• Плыть потихоньку — наречие, образованное от прилагательного с помощью приставки и суффикса, пишется слитно; на конце у.
• Начать все сызнова — наречие, пишется слитно; после приставки с- пишется ы, на конце а.
• Понапрасну не горюй — наречие, пишется слитно; на конце у.
• Действовал вслепую — наречие, образованное от прилагательного, пишется слитно.
• Заведомо неправильный — наречие, пишется слитно; на конце о.
• Затянул натуго — наречие, пишется слитно; на конце о.
• Наполовину пуст — наречие, пишется слитно.
• Настроен по-боевому — пишется через дефис (приставка по- и суффикс -ому).
• Залечь на боковую — наречное сочетание (предлог + прилагательное в роли существительного), пишется раздельно.
• Все вразброд — наречие, пишется слитно.
• Диктовать вразбивку — наречие, пишется слитно.
• Диктовать по очереди — наречное сочетание (предлог + существительное), пишется раздельно.
• Бежать без оглядки — наречное сочетание, пишется раздельно.
• Приди послезавтра — наречие времени, пишется слитно.
• С веком наравне — наречие, пишется слитно; на конце е.
• Стоять навытяжку — наречие, пишется слитно.

Сводная таблица трудных случаев

Я могу составить для вас проверочный тест по этим правилам или подготовить аналогичный список для других орфограмм. Хотите, чтобы я сделал это?