6cos² x – 5cosx + 1=0

Для решения уравнения $6{\cos }^{2}x-5\cos x+1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Замена переменной Пусть $\cos x=t$. Так как значения косинуса всегда лежат в промежутке $[-1,1]$, накладываем ограничение: $\left|t\right|\le 1$. Подставим $t$ в исходное уравнение: $6t^2-5t+1=0$2. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$Находим корни $t$: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ Оба значения удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 3. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$ и решим два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\cos x=\frac{1}{2}$ $x=\pm \arccos \left(\frac{1}{2}\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\cos x=\frac{1}{3}$ $x=\pm \arccos \left(\frac{1}{3}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$ ; $x=\pm \arccos \left(\frac{1}{3}\right)+2\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу также произвести отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.