Рассчитать первые 10 коэффициентов разложения функции y = sin(x) в ряд тейлора в окрестности точки x.

Первые десять коэффициентов разложения функции $y=\sin \left(x\right)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $a$ определяются значениями производных в этой точке: $c_n=\frac{\sin (a+\frac{n\pi }{2})}{n!}$ для $n$ от $0$ до $9$. ️ Шаг 1: Нахождение производных функции Для вычисления коэффициентов необходимо найти производные функции $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ в произвольной точке $a$. Общая формула производной $n$-го порядка имеет вид: $f^{\left(n\right)}\left(a\right)=\sin (a+\frac{n\pi }{2})$ Эта последовательность периодична с периодом 4: $\sin \left(a\right)$, $\cos \left(a\right)$, $-\sin \left(a\right)$, $-\cos \left(a\right)$. ️ Шаг 2: Вычисление коэффициентов ряда Коэффициенты $c_n$ определяются по формуле $c_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}$ . Рассчитаем первые 10 значений ( $n$ от $0$ до $9$):

1. $c_0=\frac{\sin \left(a\right)}{0!}=\sin \left(a\right)$ $c_1=\frac{\cos \left(a\right)}{1!}=\cos \left(a\right)$ $c_2=\frac{-\sin \left(a\right)}{2!}=-\frac{\sin \left(a\right)}{2}$ $c_3=\frac{-\cos \left(a\right)}{3!}=-\frac{\cos \left(a\right)}{6}$ $c_4=\frac{\sin \left(a\right)}{4!}=\frac{\sin \left(a\right)}{24}$ $c_5=\frac{\cos \left(a\right)}{5!}=\frac{\cos \left(a\right)}{120}$ $c_6=\frac{-\sin \left(a\right)}{6!}=-\frac{\sin \left(a\right)}{720}$ $c_7=\frac{-\cos \left(a\right)}{7!}=-\frac{\cos \left(a\right)}{5040}$ $c_8=\frac{\sin \left(a\right)}{8!}=\frac{\sin \left(a\right)}{40320}$ $c_9=\frac{\cos \left(a\right)}{9!}=\frac{\cos \left(a\right)}{362880}$

Ответ: Коэффициенты разложения: $\sin \left(a\right)$, $\cos \left(a\right)$, $-\frac{\sin \left(a\right)}{2}$ , $-\frac{\cos \left(a\right)}{6}$ , $\frac{\sin \left(a\right)}{24}$ , $\frac{\cos \left(a\right)}{120}$ , $-\frac{\sin \left(a\right)}{720}$ , $-\frac{\cos \left(a\right)}{5040}$ , $\frac{\sin \left(a\right)}{40320}$ , $\frac{\cos \left(a\right)}{362880}$ . Укажите конкретное значение точки $a$ (например, $0$ для ряда Маклорена), чтобы получить числовые коэффициенты.