Решите показательные уравнения: 64^х-8^х-56=0

Для решения уравнения ${64}^x-8^x-56=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что число $64$ является квадратом числа $8$: ${64}^x=(8^2{)}^x=(8^x{)}^2$Теперь перепишем исходное уравнение: $(8^x{)}^2-8^x-56=0$2. Замена переменной Пусть $8^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда принимает только положительные значения, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Подставим $t$ в уравнение: $t^2-t-56=0$3. Решение квадратного уравнения Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета.

• Коэффициенты: $a=1,b=-1,c=-56$ Дискриминант ( $D$):
  $D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-56)=1+224=225$ $\sqrt{D}=\sqrt{225}=15$ Нахождение корней ( $t$):
  $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+15}{2}=\frac{16}{2}=8$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-15}{2}=\frac{-14}{2}=-7$

4. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

1. $t_1=8$ — подходит. $t_2=-7$ — не подходит, так как $8^x$ не может быть отрицательным числом.

Решим уравнение для $t_1$: $8^x=8$ $8^x=8^1$ $x=1$Ответ: $x=1$ Хотите, чтобы я решил еще одно уравнение подобного типа или разобрал другой метод решения? AI responses may include mistakes. For legal advice, consult a professional. Learn more