Решите уравнение используя однородность:4sin^2x-sinxcosx-3cos^2x=0

Для решения уравнения $4{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка случая $\cos x=0$ Прежде чем делить на ${\cos }^{2}x$, необходимо убедиться, что мы не потеряем корни. Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид: $4{\sin }^{2}x-0-0=0⟹\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Преобразование в квадратное уравнение относительно $\tan x$ Разделим каждый член уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{4{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , получаем: $4{\tan }^{2}x-\tan x-3=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\tan x$. Тогда уравнение выглядит так: $4t^2-t-3=0$Найдем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 4\cdot (-3)=1+48=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни $t$:

1. $t_1=\frac{1+7}{2\cdot 4}=\frac{8}{8}=1$ $t_2=\frac{1-7}{8}=-\frac{6}{8}=-0.75$

4. Обратная подстановка Теперь решим простейшие тригонометрические уравнения для каждого значения $t$:

• Для $t_1=1$:
  $\tan x=1$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Для $t_2=-0.75$:
  $\tan x=-0.75$ $x=\arctan \left(-0.75\right)+\pi k$ $x=-\arctan \left(0.75\right)+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; $x=-\arctan \left(0.75\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу помочь вам с отбором корней на заданном промежутке, если это необходимо.