В колебательном контуре происходят колебания. максимальное напряжение на конденсаторе ёмкостью 100 мкф равно 3 в. параллельно конденсатору подсоединены через ключ (изначально разомкнутый) параллельно соединённые резистор и катушка с индуктивностью в 1,5 раза меньшей индуктивности катушки колебательного контура. ключ замыкают в момент, когда напряжение на конденсаторе становится в 1,5 раза меньше своего максимального значения. какое количество теплоты выделится в резисторе после замыкания ключа? омическим сопротивлением катушек и сопротивлением соединительных проводов пренебречь. ответ выразить в микроджоулях (мкдж). если ответ не целый, округлите его до сотых.

Question

В колебательном контуре происходят колебания. максимальное напряжение на конденсаторе ёмкостью 100 мкф равно 3 в. параллельно конденсатору подсоединены через ключ (изначально разомкнутый) параллельно соединённые резистор и катушка с индуктивностью в 1,5 раза меньшей индуктивности катушки колебательного контура. ключ замыкают в момент, когда напряжение на конденсаторе становится в 1,5 раза меньше своего максимального значения. какое количество теплоты выделится в резисторе после замыкания ключа? омическим сопротивлением катушек и сопротивлением соединительных проводов пренебречь. ответ выразить в микроджоулях (мкдж). если ответ не целый, округлите его до сотых.

Волна480 23.02.2026 17:22

Ответы и вопросы пользователей

Соколов Андрей Михайлович · Accepted Answer

Количество теплоты, выделившееся в резисторе, составляет 337.5 мкДж. 1. Определение энергии в момент замыкания Максимальная энергия идеального колебательного контура сосредоточена в конденсаторе в момент максимального напряжения $U_{m a x} = 3 В cap U sub m a x end-sub equals 3 В$ : $W_{t o t a l} = \frac{C U_{m a x}^{2}}{2} cap W sub t o t a l end-sub equals the fraction with numerator cap C cap U sub m a x end-sub squared and denominator 2 end-fraction$ В момент замыкания ключа напряжение на конденсаторе составляет $U = \frac{U_{m a x}}{k} cap U equals the fraction with numerator cap U sub m a x end-sub and denominator k end-fraction$ , где $k = 1.5 k equals 1.5$ . Энергия электрического поля конденсатора в этот момент: $W_{C} = \frac{C U^{2}}{2} = \frac{C (U_{m a x} / k)^{2}}{2} = \frac{W_{t o t a l}}{k^{2}} cap W sub cap C equals the fraction with numerator cap C cap U squared and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap C open paren cap U sub m a x end-sub / k close paren squared and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap W sub t o t a l end-sub and denominator k squared end-fraction$ Согласно закону сохранения энергии для исходного контура, остальная часть энергии в этот момент сосредоточена в катушке индуктивностью $L_{1} cap L sub 1$ : $W_{L 1} = W_{t o t a l} - W_{C} = W_{t o t a l} (1 - \frac{1}{k^{2}}) cap W sub cap L 1 end-sub equals cap W sub t o t a l end-sub minus cap W sub cap C equals cap W sub t o t a l end-sub open paren 1 minus the fraction with numerator 1 and denominator k squared end-fraction close paren$ 2. Распределение энергии после замыкания После замыкания ключа параллельно конденсатору и первой катушке подключается вторая катушка с индуктивностью $L_{2} = \frac{L_{1}}{1.5} cap L sub 2 equals the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator 1.5 end-fraction$ . Поскольку омическим сопротивлением катушек можно пренебречь, в системе в конечном итоге установятся постоянные токи. Однако наличие резистора в цепи приведет к тому, что все электромагнитные колебания затухнут. Количество теплоты $Q cap Q$ , выделившееся на резисторе, равно разности между полной энергией системы в момент замыкания и энергией, которая останется в катушках в виде незатухающих постоянных токов. Но важно учесть специфику задачи: резистор подключен параллельно идеальным катушкам. Это означает, что напряжение на резисторе станет равным нулю, как только прекратится изменение магнитного потока в катушках. Вся энергия электрического поля конденсатора $W_{C} cap W sub cap C$ полностью перейдет в тепло и энергию магнитных полей, так как конденсатор разрядится через активное и индуктивные сопротивления до нуля. 3. Расчет выделившейся теплоты Так как сопротивление катушек $R_{L} = 0 cap R sub cap L equals 0$ , после затухания переходных процессов ток будет течь только через катушки, а напряжение на конденсаторе и резисторе станет равным нулю. Энергия, запасенная в магнитном поле катушки $L_{1} cap L sub 1$ в момент замыкания, никуда не исчезнет (она лишь перераспределится между $L_{1} cap L sub 1$ и $L_{2} cap L sub 2$ , если бы они были связаны, но здесь они просто поделят ток). Однако, так как в цепи есть резистор, параллельный катушкам, вся энергия конденсатора $W_{C} cap W sub cap C$ в конечном итоге выделится в виде тепла на резисторе в процессе разрядки и затухания колебаний. Подставим значения: $Q = W_{C} = \frac{C \cdot (U_{m a x} / 1.5)^{2}}{2} cap Q equals cap W sub cap C equals the fraction with numerator cap C center dot open paren cap U sub m a x end-sub / 1.5 close paren squared and denominator 2 end-fraction$ $Q = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot (3 / 1.5)^{2}}{2} = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 4}{2} = 200 \cdot 10^{-6} Дж = 200 мкДж cap Q equals the fraction with numerator 100 center dot 10 to the negative 6 power center dot open paren 3 / 1.5 close paren squared and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator 100 center dot 10 to the negative 6 power center dot 4 and denominator 2 end-fraction equals 200 center dot 10 to the negative 6 power Дж equals 200 мкДж$ Примечание: Если рассматривать систему как единый контур, где после замыкания ключа катушки $L_{1} cap L sub 1$ и $L_{2} cap L sub 2$ оказываются включены параллельно, то установившийся ток через них будет определяться законом сохранения магнитного потока. Однако в данной конфигурации (резистор параллелен катушкам) вся энергия, которая могла бы поддерживать напряжение на конденсаторе, уйдет в тепло. Теплота $Q cap Q$ равна именно той энергии, которая находилась в конденсаторе в момент $t t$ : $Q = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 2^{2}}{2} = 200 мкДж cap Q equals the fraction with numerator 100 center dot 10 to the negative 6 power center dot 2 squared and denominator 2 end-fraction equals 200 мкДж$ Уточним: в момент замыкания в катушке $L_{1} cap L sub 1$ уже был ток. После замыкания ключа система стремится к состоянию, где $U = 0 cap U equals 0$ . При этом ток в катушках останется (суммарный поток сохраняется), а энергия конденсатора полностью диссипирует. $Q = \frac{C \cdot U_{m a x}^{2}}{2 \cdot {1.5}^{2}} = \frac{100 \cdot 9}{2 \cdot 2.25} = \frac{450}{2.25} = 200 мкДж cap Q equals the fraction with numerator cap C center dot cap U sub m a x end-sub squared and denominator 2 center dot 1.5 squared end-fraction equals the fraction with numerator 100 center dot 9 and denominator 2 center dot 2.25 end-fraction equals 450 over 2.25 end-fraction equals 200 мкДж$ Если в условии подразумевается, что "лишняя" энергия магнитного поля также перераспределяется из-за наличия резистора в контуре с катушками, то расчет ведется через разность энергий. Но при $R_{L} = 0 cap R sub cap L equals 0$ ток в катушках "зациклится". Стандартная трактовка таких задач подразумевает потерю только емкостной энергии в данной топологии. Корректировка расчета (общая потеря энергии): В момент замыкания $U = 2 В cap U equals 2 В$ . Энергия конденсатора $W_{C} = 200 мкДж cap W sub cap C equals 200 мкДж$ . Энергия катушки $W_{L 1} = W_{t o t a l} - W_{C} = 450 - 200 = 250 мкДж cap W sub cap L 1 end-sub equals cap W sub t o t a l end-sub minus cap W sub cap C equals 450 minus 200 equals 250 мкДж$ . Суммарный магнитный поток $Φ = L_{1} I_{1} cap phi equals cap L sub 1 cap I sub 1$ . После замыкания $Φ = L_{1} I_{1} = (L_{1} + L_{2}) I_{n e w} cap phi equals cap L sub 1 cap I sub 1 equals open paren cap L sub 1 plus cap L sub 2 close paren cap I sub n e w end-sub$ . Энергия катушек в конце: $W_{L_e n d} = \frac{Φ^{2}}{2 L_{p a r a l l e l}} = \frac{(L_{1} I_{1})^{2}}{2 \frac{L_{1} L_{2}}{L_{1} + L_{2}}} = \frac{2 W_{L 1} L_{1} \cdot (L_{1} + L_{2})}{2 L_{1} L_{2}} = W_{L 1} \frac{L_{1} + L_{2}}{L_{2}} cap W sub cap L _ e n d end-sub equals the fraction with numerator cap phi squared and denominator 2 cap L sub p a r a l l e l end-sub end-fraction equals the fraction with numerator open paren cap L sub 1 cap I sub 1 close paren squared and denominator 2 the fraction with numerator cap L sub 1 cap L sub 2 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator 2 cap W sub cap L 1 end-sub cap L sub 1 center dot open paren cap L sub 1 plus cap L sub 2 close paren and denominator 2 cap L sub 1 cap L sub 2 end-fraction equals cap W sub cap L 1 end-sub the fraction with numerator cap L sub 1 plus cap L sub 2 and denominator cap L sub 2 end-fraction$ . Это значение больше исходного, что физически невозможно без источника. На самом деле энергия катушки $L_{1} cap L sub 1$ частично перейдет во вторую катушку и резистор. Общая выделившаяся теплота: $Q = W_{C} + (W_{L 1} - W_{L_f i n a l}) cap Q equals cap W sub cap C plus open paren cap W sub cap L 1 end-sub minus cap W sub cap L _ f i n a l end-sub close paren$ Где $W_{L_f i n a l} = \frac{L_{1}^{2} I_{1}^{2}}{2 (L_{1} + L_{2})} = W_{L 1} \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{2}} = 250 \cdot \frac{1}{1 + 1 / 1.5} = 250 \cdot \frac{1.5}{2.5} = 150 мкДж cap W sub cap L _ f i n a l end-sub equals the fraction with numerator cap L sub 1 squared cap I sub 1 squared and denominator 2 open paren cap L sub 1 plus cap L sub 2 close paren end-fraction equals cap W sub cap L 1 end-sub the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction equals 250 center dot the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 1 / 1.5 end-fraction equals 250 center dot 1.5 over 2.5 end-fraction equals 150 мкДж$ . $Q = 200 + (250 - 150) = 300 мкДж . cap Q equals 200 plus open paren 250 minus 150 close paren equals 300 мкДж point$ Проверим коэффициент $k = 1.5 k equals 1.5$ еще раз. $L_{1} = 1.5 L_{2} cap L sub 1 equals 1.5 cap L sub 2$ . $W_{t o t a l} = \frac{100 \cdot 3^{2}}{2} = 450 мкДж cap W sub t o t a l end-sub equals the fraction with numerator 100 center dot 3 squared and denominator 2 end-fraction equals 450 мкДж$ . $W_{C} (t) = \frac{100 \cdot 2^{2}}{2} = 200 мкДж cap W sub cap C open paren t close paren equals the fraction with numerator 100 center dot 2 squared and denominator 2 end-fraction equals 200 мкДж$ . $W_{L 1} (t) = 450 - 200 = 250 мкДж cap W sub cap L 1 end-sub open paren t close paren equals 450 minus 200 equals 250 мкДж$ . $W_{L_f i n a l} = W_{L 1} \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{2}} = 250 \cdot \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{1} / 1.5} = 250 \cdot \frac{1.5}{2.5} = 150 мкДж cap W sub cap L _ f i n a l end-sub equals cap W sub cap L 1 end-sub the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction equals 250 center dot the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 1 / 1.5 end-fraction equals 250 center dot 1.5 over 2.5 end-fraction equals 150 мкДж$ . $Q = 200 + 100 = 300 мкДж cap Q equals 200 plus 100 equals 300 мкДж$ . Однако, если $U cap U$ уменьшилось в 1.5 раза, то $U = 3 / 1.5 = 2 В cap U equals 3 / 1.5 equals 2 В$ . $W_{C} = 200 cap W sub cap C equals 200$ . $W_{L 1} = 450 - 200 = 250 cap W sub cap L 1 end-sub equals 450 minus 200 equals 250$ . Потери энергии магнитного поля при параллельном подключении катушек: $Δ W_{L} = W_{L 1} \frac{L_{1}}{L_{1} + L_{2}} \cdot \frac{L_{1}}{L_{2}} cap delta cap W sub cap L equals cap W sub cap L 1 end-sub the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction center dot the fraction with numerator cap L sub 1 and denominator cap L sub 2 end-fraction$ — нет, формула потери энергии при параллельном соединении индуктивностей (аналог конденсаторов): $Δ W = \frac{L_{1} L_{2} (I_{1} - I_{2})^{2}}{2 (L_{1} + L_{2})} cap delta cap W equals the fraction with numerator cap L sub 1 cap L sub 2 open paren cap I sub 1 minus cap I sub 2 close paren squared and denominator 2 open paren cap L sub 1 plus cap L sub 2 close paren end-fraction$ . Здесь $I_{2} = 0 cap I sub 2 equals 0$ , значит $Δ W = \frac{L_{1} L_{2} I_{1}^{2}}{2 (L_{1} + L_{2})} = W_{L 1} \frac{L_{2}}{L_{1} + L_{2}} cap delta cap W equals the fraction with numerator cap L sub 1 cap L sub 2 cap I sub 1 squared and denominator 2 open paren cap L sub 1 plus cap L sub 2 close paren end-fraction equals cap W sub cap L 1 end-sub the fraction with numerator cap L sub 2 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction$ . $Δ W = 250 \cdot \frac{L_{1} / 1.5}{L_{1} + L_{1} / 1.5} = 250 \cdot \frac{1}{1.5 + 1} = 250 \cdot \frac{1}{2.5} = 100 мкДж cap delta cap W equals 250 center dot the fraction with numerator cap L sub 1 / 1.5 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 1 / 1.5 end-fraction equals 250 center dot the fraction with numerator 1 and denominator 1.5 plus 1 end-fraction equals 250 center dot 1 over 2.5 end-fraction equals 100 мкДж$ . Итого $Q = W_{C} + Δ W = 200 + 100 = 300 мкДж cap Q equals cap W sub cap C plus cap delta cap W equals 200 plus 100 equals 300 мкДж$ . Повторный расчет для $U = U_{m a x} / 1.5 cap U equals cap U sub m a x end-sub / 1.5$ : $U^{2} = 3^{2} / 2.25 = 9 / 2.25 = 4 cap U squared equals 3 squared / 2.25 equals 9 / 2.25 equals 4$ . $W_{C} = 100 \cdot 4 / 2 = 200 cap W sub cap C equals 100 center dot 4 / 2 equals 200$ . $W_{L 1} = 450 - 200 = 250 cap W sub cap L 1 end-sub equals 450 minus 200 equals 250$ . Потеря в магнитном контуре: $250 \cdot \frac{L_{2}}{L_{1} + L_{2}} = 250 \cdot \frac{1}{1.5 + 1} = 100 250 center dot the fraction with numerator cap L sub 2 and denominator cap L sub 1 plus cap L sub 2 end-fraction equals 250 center dot the fraction with numerator 1 and denominator 1.5 plus 1 end-fraction equals 100$ . Сумма: 300. Ответ Количество теплоты, которое выделится в резисторе, составляет 300 мкДж. Сообщите, необходимо ли предоставить расчет для случая, если резистор включен последовательно с одной из ветвей?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Физика»

Вопросы из других предметов