В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 извесны длины ребер: ав=12, ad=16, cc1=9. найдите угол между плоскостями bdd1 и ab1d1.

Question

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 извесны длины ребер: ав=12, ad=16, cc1=9. найдите угол между плоскостями bdd1 и ab1d1.

Рай686 11.03.2026 18:57

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Угол между плоскостями $B D D_{1} cap B cap D cap D sub 1$ и $A B_{1} D_{1} cap A cap B sub 1 cap D sub 1$ составляет $\arccos (\frac{15}{\sqrt{481}}) arc cosine open paren the fraction with numerator 15 and denominator the square root of 481 end-root end-fraction close paren$ . Шаг 1: Введение системы координат и определение координат точек Поместим начало координат в точку $A (0, 0, 0) cap A open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ . Пусть ось $x x$ направлена вдоль ребра $A B cap A cap B$ , ось $y y$ — вдоль $A D cap A cap D$ , а ось $z z$ — вдоль $A A_{1} cap A cap A sub 1$ . Учитывая длины ребер $A B = 12 cap A cap B equals 12$ , $A D = 16 cap A cap D equals 16$ и $A A_{1} = C C_{1} = 9 cap A cap A sub 1 equals cap C cap C sub 1 equals 9$ , определим координаты необходимых точек:

$A (0, 0, 0) cap A open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ $B (12, 0, 0) cap B open paren 12 comma 0 comma 0 close paren$ $D (0, 16, 0) cap D open paren 0 comma 16 comma 0 close paren$ $D_{1} (0, 16, 9) cap D sub 1 open paren 0 comma 16 comma 9 close paren$ $B_{1} (12, 0, 9) cap B sub 1 open paren 12 comma 0 comma 9 close paren$

Шаг 2: Нахождение уравнений плоскостей и их нормалей Плоскость $B D D_{1} cap B cap D cap D sub 1$ проходит через точки $B (12, 0, 0) cap B open paren 12 comma 0 comma 0 close paren$ , $D (0, 16, 0) cap D open paren 0 comma 16 comma 0 close paren$ и $D_{1} (0, 16, 9) cap D sub 1 open paren 0 comma 16 comma 9 close paren$ . Поскольку она вертикальна, её уравнение в проекции на плоскость $O x y cap O x y$ определяется прямой $B D cap B cap D$ : $\frac{x}{12} + \frac{y}{16} = 1 16 x + 12 y - 192 = 0 4 x + 3 y - 48 = 0 x over 12 end-fraction plus y over 16 end-fraction equals 1 implies 16 x plus 12 y minus 192 equals 0 implies 4 x plus 3 y minus 48 equals 0$ Вектор нормали $\vec{n_{1}} = (4, 3, 0) modified n sub 1 with right arrow above equals open paren 4 comma 3 comma 0 close paren$ . Плоскость $A B_{1} D_{1} cap A cap B sub 1 cap D sub 1$ проходит через начало координат $A (0, 0, 0) cap A open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ , $B_{1} (12, 0, 9) cap B sub 1 open paren 12 comma 0 comma 9 close paren$ и $D_{1} (0, 16, 9) cap D sub 1 open paren 0 comma 16 comma 9 close paren$ . Уравнение плоскости $a x + b y + c z = 0 a x plus b y plus c z equals 0$ :

$12 a + 9 c = 0 a = - \frac{3}{4} c 12 a plus 9 c equals 0 implies a equals negative three-fourths c$ $16 b + 9 c = 0 b = - \frac{9}{16} c 16 b plus 9 c equals 0 implies b equals negative 9 over 16 end-fraction c$
Пусть $c = 16 c equals 16$ , тогда $a = -12 a equals negative 12$ и $b = -9 b equals negative 9$ . Вектор нормали $\vec{n_{2}} = (-12, -9, 16) modified n sub 2 with right arrow above equals open paren negative 12 comma negative 9 comma 16 close paren$ .

Шаг 3: Вычисление угла между плоскостями Угол $ϕ phi$ между плоскостями равен углу между их нормалями: $\cos ϕ = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |} cosine phi equals the fraction with numerator the absolute value of modified n sub 1 with right arrow above center dot modified n sub 2 with right arrow above end-absolute-value and denominator the absolute value of modified n sub 1 with right arrow above end-absolute-value center dot the absolute value of modified n sub 2 with right arrow above end-absolute-value end-fraction$ Вычислим скалярное произведение: $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 4 \cdot (-12) + 3 \cdot (-9) + 0 \cdot 16 = -48 - 27 = -75 modified n sub 1 with right arrow above center dot modified n sub 2 with right arrow above equals 4 center dot open paren negative 12 close paren plus 3 center dot open paren negative 9 close paren plus 0 center dot 16 equals negative 48 minus 27 equals negative 75$ Вычислим длины векторов: $| \vec{n_{1}} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5 the absolute value of modified n sub 1 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 4 squared plus 3 squared plus 0 squared end-root equals 5$ $| \vec{n_{2}} | = \sqrt{(-12)^{2} + (-9)^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 81 + 256} = \sqrt{481} the absolute value of modified n sub 2 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of open paren negative 12 close paren squared plus open paren negative 9 close paren squared plus 16 squared end-root equals the square root of 144 plus 81 plus 256 end-root equals the square root of 481 end-root$ Следовательно: $\cos ϕ = \frac{| - 75 |}{5 \sqrt{481}} = \frac{15}{\sqrt{481}} cosine phi equals the fraction with numerator the absolute value of minus 75 end-absolute-value and denominator 5 the square root of 481 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 15 and denominator the square root of 481 end-root end-fraction$ Ответ: $\arccos (\frac{15}{\sqrt{481}}) arc cosine open paren the fraction with numerator 15 and denominator the square root of 481 end-root end-fraction close paren$ Нужно ли представить результат в виде приблизительного значения в градусах или помочь с расчетом других углов в этом параллелепипеде?

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 извесны длины ребер: ав=12, ad=16, cc1=9. найдите угол между плоскостями bdd1 и ab1d1.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов