Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y^3=x, y=1, x=8

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y^3=x$, $y=1$ и $x=8$, равна 4.25. ️ Шаг 1: Определение пределов интегрирования и функций Сначала определим точки пересечения кривых, чтобы понять границы фигуры. Линия $x=8$ является правой границей. Линия $y=1$ является нижней границей. Найдем точку пересечения кривой $y^3=x$ с этими линиями:

1. Пересечение $y^3=x$ и $y=1$: $1^3=x⟹x=1$. Пересечение $y^3=x$ и $x=8$: $y^3=8⟹y=2$.

Таким образом, фигура ограничена по оси $x$ от $1$ до $8$. Сверху она ограничена функцией $y=x^{1/3}$, а снизу — прямой $y=1$. ️ Шаг 2: Составление определенного интеграла Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций по переменной $x$: $S={\int }_1^8(x^{1/3}-1)dx$️ Шаг 3: Вычисление интеграла Найдем первообразную и вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница: $S=[\frac{x^{4/3}}{4/3}-x{]}_1^8=[\frac{3}{4}{x}^{4/3}-x{]}_1^8$ Подставим верхний предел $x=8$: $\frac{3}{4}\left(8^{4/3}\right)-8=\frac{3}{4}\left(16\right)-8=12-8=4$ Подставим нижний предел $x=1$: $\frac{3}{4}\left(1^{4/3}\right)-1=\frac{3}{4}-1=-0.25$ Находим разность: $S=4-\left(-0.25\right)=4.25$ Ответ: Площадь фигуры составляет 4.25 (или \frac{17}{4}) квадратных единиц. Требуется ли вам построить график этой области или рассмотреть вычисление через интеграл по оси OY?